Визначення теореми Байєса
Що таке теорема Байєса?
Теорема Байєса, названа на честь британського математика 18 століття Томаса Байєса, є математичною формулою для визначення умовної ймовірності. Умовна ймовірність – це ймовірність настання результату на основі попереднього результату. Теорема Байєса пропонує спосіб переглянути існуючі прогнози або теорії (ймовірності оновлення), отримавши нові або додаткові докази. У сфері фінансів теорему Байєса можна використовувати для оцінки ризику позики грошей потенційним позичальникам.
Теорема Байєса також називається правилом Байєса або Законом Байєса і є основою поля байєсівської статистики.
Ключові винос
- Теорема Байєса дозволяє оновити передбачувані ймовірності події, включаючи нову інформацію.
- Теорема Байєса була названа на честь математика 18 століття Томаса Байєса.
- Він часто використовується у фінансах для оновлення оцінки ризиків.
Розуміння теореми Байєса
Застосування теореми широко поширене і не обмежується лише фінансовою сферою. Як приклад, теорему Байєса можна використовувати для визначення точності результатів медичного тесту, беручи до уваги, наскільки ймовірна будь-яка людина, яка хворіє, та загальну точність тесту. Теорема Байєса спирається на включення попередніх розподілів ймовірностей з метою генерування задніх ймовірностей. Попередня ймовірність, за байєсівським статистичним висновком, – це ймовірність події до збору нових даних. Це найкраща раціональна оцінка ймовірності результату на основі наявних знань перед проведенням експерименту. Задня ймовірність – це переглянута ймовірність події, що відбулася після врахування нової інформації. Задня ймовірність обчислюється шляхом оновлення попередньої ймовірності за допомогою теореми Байєса. У статистичному відношенні задня ймовірність – це ймовірність настання події А з огляду на те, що подія В мала місце.
Таким чином, теорема Байєса дає ймовірність події на основі нової інформації, яка є або може бути пов’язана з цією подією. Формулу також можна використовувати, щоб побачити, як гіпотетична нова інформація впливає на ймовірність події, припускаючи, що нова інформація виявиться правдивою. Наприклад, скажімо, одна картка витягнута з повної колоди з 52 карт. Імовірність того, що карта є королем, дорівнює чотирьом, поділеним на 52, що дорівнює 1/13 або приблизно 7,69%. Пам’ятайте, що в колоді чотири королі. Тепер, припустимо, виявлено, що обрана картка є лицьовою. Імовірність того, що обрана карта є королем, враховуючи, що це особова картка, дорівнює чотирьом, поділеним на 12, або приблизно 33,3%, оскільки в колоді є 12 лицьових карт.
Формула теореми Байєса
Приклади теореми Байєса
Нижче наведено два приклади теореми Байєса, в яких перший приклад показує, як формулу можна отримати на прикладі інвестування акцій за допомогою Amazon.com Inc. ( AMZN ). Другий приклад застосовує теорему Байєса до фармацевтичного тестування лікарських засобів.
Виведення формули теореми Баєса
Теорема Байєса випливає просто з аксіом умовної ймовірності. Умовна ймовірність – це ймовірність події з огляду на те, що сталася інша подія. Наприклад, може поставити просте ймовірне запитання: “Яка ймовірність падіння курсу акцій Amazon.com?” Умовна ймовірність робить це питання ще одним кроком, запитуючи: “Яка ймовірність падіння курсу акцій AMZN, враховуючи те, що індекс Dow Jones Industrial Average (DJIA) впав раніше?”
Умовну ймовірність A з урахуванням того, що B сталося, можна виразити як:
Якщо A: “ціна AMZN падає”, тоді P (AMZN) – це ймовірність падіння AMZN; а B: “DJIA вже не працює”, а P (DJIA) – це ймовірність падіння DJIA; тоді умовний вираз імовірності читається як “ймовірність падіння AMZN за умови зниження DJIA дорівнює ймовірності того, що ціна AMZN знижується, а DJIA знижується через ймовірність зниження індексу DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN та DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN та DJIA) – це ймовірність виникнення як A, так і B. Це також те саме, що ймовірність виникнення A, помножена на ймовірність того, що виникає B, враховуючи, що A відбувається, виражена як P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Той факт, що ці два вирази рівні, призводить до теореми Байєса, яка записується так:
якщо, P (AMZN і DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
тоді, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Де P (AMZN) і P (DJIA) – це ймовірність падіння Амазонки та Доу-Джонса, не враховуючи один одного.
Формула пояснює взаємозв’язок між ймовірністю гіпотези перед тим, як побачити докази того, що P (AMZN), і ймовірністю гіпотези після отримання доказів P (AMZN | DJIA), з урахуванням гіпотези для Amazon з урахуванням доказів у Dow.
Чисельний приклад теореми Байєса
Як числовий приклад, уявіть, що існує тест на наркотики, який є 98% точним, тобто 98% випадків показує справжній позитивний результат для когось, хто вживає препарат, і 98% випадків показує справжній негативний результат для тих, хто не вживає наркотики. ліки. Далі, припустимо, 0,5% людей вживають препарат. Якщо особа, вибрана на випадкових тестах, позитивна для препарату, можна зробити наступний розрахунок, щоб визначити, чи вірогідність того, що людина справді є споживачем наркотику.
(0,98 х 0,005) / [(0,98 х 0,005) + ((1 – 0,98) х (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Теорема Байєса показує, що навіть якщо людина має позитивний результат за цим сценарієм, насправді набагато більше ймовірність, що вона не є споживачем наркотиків.