Модель Блек-Скоулза
Що таке модель Блек-Скоулза?
Модель Блек-Скоулза, також відома як модель Блек-Скоулза-Мертона (BSM), є математичною моделлю для ціноутворення на опціонному контракті. Зокрема, модель оцінює коливання фінансових інструментів у часі.
Ключові винос
- Модель Блека-Скоулза Мертона (BSM) – це диференціальне рівняння, яке використовується для розв’язування цін опціонів.
- Модель Блек-Скоулз отримала Нобелівську премію з економіки.
- Стандартна модель BSM використовується лише для оцінки європейських опціонів, оскільки вона не враховує, що опціони в США можуть бути застосовані до закінчення терміну дії.
Розуміння моделі Чорного Скоулза
Модель Блек-Скоулза – одна з найважливіших концепцій сучасної фінансової теорії. Він був розроблений у 1973 р. Фішером Блеком, Робертом Мертоном та Майроном Скоулзом і досі широко використовується. Це розглядається як один з найкращих способів визначення справедливої ціни опціонів. Модель Блек-Скоулза вимагає п’яти вхідних змінних: ціна вибору опціону, поточна ціна акції, час до закінчення терміну дії, безризикова ставка та волатильність.
Також називається Блек-Скоулз-Мертон (BSM), це була перша широко використовувана модель для ціноутворення опціонів. Він використовується для обчислення теоретичної вартості опціонів з використанням поточних цін на акції, очікуваних дивідендів, ціни страйку опціону, очікуваних процентних ставок, часу до закінчення терміну дії та очікуваної волатильності.
Початкове рівняння було введено в роботі Блека і Скоулза 1973 р. “Ціноутворення на опціони та корпоративні зобов’язання”, опублікованій у Журналі політичної економії. Блек помер за два роки до того, як Скоулз і Мертон були нагороджені Нобелівською премією в 1997 році за економіку за їх роботу з пошуку нового методу визначення вартості похідних.(Нобелівська премія не вручається посмертно; однак, Нобелівський комітет визнав роль Чорного в моделі Блека-Скоулза.)
Блек-Скоулз стверджує, що такі інструменти, як акції акцій або ф’ючерсні контракти, матимуть ненормальний розподіл цін після випадкової прогулянки з постійним дрейфом і волатильністю. Використовуючи це припущення та враховуючи інші важливі змінні, рівняння визначає ціну опціону на виклик у європейському стилі.
Вхідними даними для рівняння Блека-Скоулза є волатильність, ціна базового активу, ціна вибору опціону, час до закінчення строку дії опціону та безризикова процентна ставка. За допомогою цих змінних теоретично можливо, що продавці опціонів встановлюють раціональні ціни на опціони, які вони продають.
Крім того, модель прогнозує, що ціна активів, що активно торгуються, дотримується геометричного броунівського руху з постійним дрейфом і волатильністю. Застосовуючи до опціону на акцію, модель включає постійну зміну ціни акції, часову вартість грошей, ціну вибору опціону та час до закінчення строку дії опціону.
Припущення Блек-Скоулза
Модель Блек-Скоулза робить певні припущення:
- Опція Європи і може бути тільки здійснюється після закінчення терміну.
- За час дії опціону дивіденди не виплачуються.
- Ринки ефективні (тобто рух ринку не може бути передбачений).
- При купівлі опціону трансакційні витрати відсутні.
- Ставка без ризику і волатильності базового відомі і постійним.
- Прибутковість базового активу розподіляється за звичайним журналом.
Хоча оригінальна модель Блек-Скоулза не враховувала наслідки дивідендів, виплачених протягом життя опціону, модель часто адаптується для врахування дивідендів шляхом визначення вартості базової акції на дату дивідендів. Модель також модифікується багатьма виробниками ринку продажу опціонів, щоб врахувати ефект опціонів, які можуть бути використані до закінчення терміну дії. Як варіант, фірми використовуватимуть триноміальну модель або модель Бєрксунд-Стенсленда для ціноутворення на найбільш часто продавані варіанти американського стилю.
Формула Блек-Скоулза
Математика, яка бере участь у формулі, є складною і може лякати. На щастя, вам не потрібно знати або навіть розуміти математику, щоб використовувати моделювання Блек-Скоулза у власних стратегіях. Трейдери опціонів мають доступ до різноманітних онлайн-калькуляторів опціонів, і багато сучасних торгових платформ можуть похвалитися надійними інструментами аналізу опціонів, включаючи показники та електронні таблиці, які виконують обчислення та виводять значення цін на опціони.
Формула опціону за викликом Блек-Скоулса обчислюється множенням ціни акцій на кумулятивну стандартну функцію нормального розподілу ймовірності. Після цього чиста теперішня вартість (NPV) ціни страйку, помножена на кумулятивний стандартний нормальний розподіл, віднімається від отриманого значення попереднього розрахунку.
У математичних позначеннях:
Схильність до летючості
Блек-Скоулз припускає, що ціни на акції слідують за ненормальним розподілом, оскільки ціни на активи не можуть бути від’ємними (вони обмежені нулем). Це також відомо як розподіл Гауса.
Часто спостерігається, що ціни на активи мають значну асимметричність і певний ступінь ексцесу (жирові хвости). Це означає, що зниження ризику часто відбувається на ринку частіше, ніж передбачає звичайний розподіл.
Припущення про ненормальні базові ціни активів повинно показати, що передбачувана волатильність однакова для кожної страйкової ціни згідно моделі Блека-Скоулза. Однак, з моменту краху ринку в 1987 р., Передбачувана волатильність опціонів, що продаються за гроші, була нижчою, ніж у тих, що знаходяться поза грошима або далеко в грошах. Причиною цього явища є ринкове ціноутворення з більшою ймовірністю переходу великої волатильності на нижчу сторону на ринках.
Це призвело до наявності перекосу волатильності. Коли передбачувані волатильності для опціонів з однаковим терміном дії на графіку нанесені на графік, можна побачити форму посмішки або перекосу. Таким чином, модель Блек-Скоулза не є ефективною для розрахунку прихованої волатильності.
Обмеження моделі Блека-Скоулза
Як зазначалося раніше, модель Блек-Скоулза використовується лише для оцінки європейських опціонів і не враховує, що опціони в США можуть бути застосовані до закінчення терміну дії. Більше того, модель передбачає дивіденди та безризикові ставки постійні, але це може бути неправдою. Модель також передбачає постійну летючість останки над життям опціону, що це не так, тому що волатильність коливається в залежності від рівня попиту та пропозиції.
Крім того, інші припущення – відсутність трансакційних витрат або податків; що безризикова процентна ставка є постійною для всіх строків погашення; що короткий продаж цінних паперів з використанням доходів дозволений; а також відсутність безризикових можливостей для арбітражу – може призвести до цін, що відхиляються від реального світу, де є ці фактори.
Питання що часто задаються
Що робить модель Блек-Скоулза?
Блек-Скоулз, також відомий як Блек-Скоулз-Мертон (BSM), був першою широко використовуваною моделлю ціноутворення опціонів. Виходячи з припущення, що такі інструменти, як акції акцій або ф’ючерсні контракти, матимуть ненормальний розподіл цін після випадкової прогулянки з постійним дрейфом та волатильністю, а також враховуючи інші важливі змінні, рівняння визначає ціну виклику за європейським зразком варіант. Це робиться шляхом віднімання чистої теперішньої вартості (NPV) ціни страйку, помноженої на кумулятивний стандартний нормальний розподіл, з добутку ціни акцій та кумулятивну стандартну функцію нормального розподілу ймовірності.
Які вхідні дані для моделі Блек-Скоулза?
Вхідними даними для рівняння Блека-Скоулза є волатильність, ціна базового активу, ціна вибору опціону, час до закінчення строку дії опціону та безризикова процентна ставка. За допомогою цих змінних теоретично можливо, що продавці опціонів встановлюють раціональні ціни на опціони, які вони продають.
Які припущення робить модель Блек-Скоулза?
Модель Блек-Скоулза робить певні припущення. Головним серед них є те, що варіант є європейським, і його можна застосовувати лише після закінчення терміну дії. Інші припущення полягають у тому, що протягом життя опціону не виплачуються дивіденди; ринки ефективні (тобто рух на ринку не можна передбачити); відсутність трансакційних витрат при купівлі опціону; що безризикові ставки та волатильність основного є відомими та постійними; і що прибутки від базового активу розподіляються нормально.
Які обмеження має модель Блека-Скоулза?
Модель Блек-Скоулза використовується лише для оцінки європейських опціонів і не враховує, що опціони в США можуть бути застосовані до закінчення терміну дії. Більше того, модель передбачає дивіденди та безризикові ставки постійні, але це може бути неправдою. Модель також передбачає, що волатильність залишається незмінною протягом життя опціону, що не так, оскільки волатильність коливається залежно від рівня попиту та пропозиції.
Крім того, інші припущення – відсутність трансакційних витрат або податків; що безризикова процентна ставка є постійною для всіх строків погашення; що короткий продаж цінних паперів з використанням доходів дозволений; а також відсутність безризикових можливостей для арбітражу – може призвести до цін, що відхиляються від реального світу, де є ці фактори.