Складені відсотки
Що таке складний інтерес?
Складені відсотки (або складні відсотки) – це відсотки за позику або депозит, розраховані як на основі первісної основної суми, так і накопичених відсотків за попередні періоди. Вважається, що виникла в Італії 17 століття, складні відсотки можна розглядати як “відсотки за відсотками” і змусять суму зростати швидше, ніж прості відсотки, які обчислюються лише на основну суму.
Швидкість, при якій з’єднання нарахування відсотків залежить від частоти компаундирования, такий, що чим вище кількість компаундирования періодів, тим більше складні відсотки. Таким чином, сума складених відсотків, нарахованих на 100 доларів США, складених під 10% щороку, буде нижчою, ніж на 100 доларів США, складених під 5% півроку за той самий період часу. Оскільки ефект відсотка за відсотками може приносити дедалі позитивніші прибутки на основі початкової суми основного боргу, його іноді називають “дивом складних відсотків”.
Ключові винос
- Складені відсотки (або складові відсотки) – це відсотки, розраховані на первинну основну суму, яка також включає всі накопичені відсотки за попередні періоди за депозитом або позикою.
- Складені відсотки обчислюються множенням початкової суми основного боргу на одиницю плюс річну процентну ставку, підняту на кількість складних періодів мінус одиниця.
- Відсотки можуть збільшуватися за будь-яким даним графіком, від постійного до щоденного до щорічного.
- При обчисленні складних відсотків кількість періодів складання суттєво різниться.
Розрахунок складних відсотків
Складені відсотки обчислюються множенням початкової суми основного боргу на одиницю плюс річну процентну ставку, підняту на кількість складних періодів мінус одиниця. Потім від отриманої вартості віднімається загальна початкова сума позики.
Формула для розрахунку складних відсотків:
- Складені відсотки = загальна сума основної суми та відсотків у майбутній (або майбутній вартості) за вирахуванням суми основної суми на даний момент (або теперішня вартість)
= [P (1 + i ) n ] – P
= P [(1 + i ) n – 1]
Де:
Р = основний
i = номінальна річна процентна ставка у відсотках
n = кількість періодів складання
Візьміть трирічну позику в 10 000 доларів під процентну ставку 5%, яка складається щороку. Якою була б сума відсотків? У цьому випадку це буде:
10 000 дол. США [(1 + 0,05)
3 – 1] = 10 000 дол. США [1,157625 – 1] = 1576,25 дол. США
Зростання складних відсотків
Використовуючи наведений вище приклад, оскільки складні відсотки також враховують накопичені відсотки у попередні періоди, сума відсотків неоднакова протягом усіх трьох років, як це було б при простих відсотках. Хоча загальний відсоток, що підлягає сплаті протягом трирічного періоду цієї позики, становить 1576,25 дол.
Складні періоди
При обчисленні складних відсотків кількість періодів складання суттєво різниться. Основне правило полягає в тому, що чим більша кількість періодів складання, тим більша сума складених процентів.
Наступна таблиця демонструє різницю, яку може скласти кількість періодів складання для позики в 10 000 доларів США з річною 10-відсотковою ставкою протягом 10-річного періоду.
Складені відсотки можуть суттєво збільшити прибутковість інвестицій у довгостроковій перспективі.Хоча депозит у 100 000 доларів, який отримує 5% простих річних відсотків, за 10 років заробить 50 000 доларів загальної суми відсотків, річний складний відсоток у 5% на 10 000 доларів складе 62 889,46 доларів за той же період.Якби замість цього період сплати щомісяця виплачувався протягом того самого 10-річного періоду під 5% складних відсотків, загальний відсоток натомість зріс би до 64 700,95 доларів.
Складне обчислення в Excel
Якщо з вашого часу математики минуло не так багато часу, не бійтеся: Є зручні інструменти, які допоможуть скласти фігуру. Багато калькуляторів (як кишенькових, так і комп’ютерних) мають функції експоненти, які можна використовувати для цих цілей. Якщо виникають складніші завдання складання, їх можна виконати за допомогою Microsoft Excel – трьома різними способами.
- Перший спосіб обчислення складених відсотків – множення кожного року нового залишку на процентну ставку. Припустимо, ви вкладаєте 1000 доларів на ощадний рахунок із відсотковою ставкою 5%, яка складається щороку, і ви хочете розрахувати залишок за п’ять років. У Microsoft Excel введіть “Рік” у клітинку A1 та “Баланс” у комірку B1. Введіть роки від 0 до 5 у клітинки від A2 до A7. Залишок за 0 рік становить 1000 доларів, тож ви ввели “1000” у клітинку B2. Далі введіть “= B2 * 1,05” у комірку B3. Потім введіть “= B3 * 1,05” у комірку B4 і продовжуйте робити це, поки не дійдете до комірки B7. У комірці B7 обчислення становить “= B6 * 1,05”. Нарешті, розраховане значення в комірці B7 – 1276,28 дол. США – це залишок на вашому ощадному рахунку через п’ять років. Щоб знайти величину складених відсотків, відніміть $ 1000 з $ 1276,28; це дає вам значення $ 276,28.
- Другий спосіб обчислення складних відсотків – це використання фіксованої формули. Формула складених відсотків є ((P * (1 + i) ^ n) – P), де P – основна сума, i – річна процентна ставка, а n – кількість періодів. Використовуючи ту ж інформацію, наведену вище, введіть “Основне значення” в комірку A1 та 1000 у комірку B1. Далі введіть “Відсоткова ставка” у клітинку A2 та “.05” у комірку B2. Введіть “Складені періоди” у комірку A3 та “5” у комірку B3. Тепер ви можете розрахувати складні відсотки в комірці B4, ввівши “= (B1 * (1 + B2) ^ B3) -B1”, що дає вам 276,28 дол. США.
- Третім способом обчислення складних відсотків є створення макрофункції. Спочатку запустіть редактор Visual Basic, який знаходиться на вкладці розробника. Клацніть меню Вставка та натисніть Модуль. Потім введіть “Function Compound_Interest (P As Double, i As Double, n As Double) As Double” у першому рядку. У другому рядку натисніть клавішу табуляції та введіть “Compound_Interest = (P * (1 + i) ^ n) – P.” У третьому рядку модуля введіть “Кінцева функція”. Ви створили функціональний макрос для обчислення складної процентної ставки. Продовжуючи той самий аркуш Excel вище, введіть “Складені відсотки” в комірку A6 і введіть “= Compound_Interest (B1, B2, B3)”. Це дає вам значення 276,28 дол. США, що узгоджується з першими двома значеннями.
Використання інших калькуляторів
Як зазначалося вище, в Інтернеті пропонується безліч безкоштовних калькуляторів складних відсотків, і багато кишенькових калькуляторів можуть виконувати ці завдання.
- Безкоштовний калькулятор складених відсотків, пропонований через Financial-Calculators.com, простий в експлуатації та пропонує складний вибір частоти від щоденного до щорічного. Він включає можливість вибору безперервного складання, а також дозволяє вводити фактичні дати початку та закінчення календаря. Після введення необхідних даних розрахунку результати показують зароблені відсотки, майбутню вартість, річний процентний дохід (APY), що є мірою, що включає складання, та добові відсотки.
- Investor.gov, веб-сайт, який управляє Комісія з цінних паперів та бірж США (SEC), пропонує безкоштовний онлайн-калькулятор складних відсотків. Калькулятор досить простий, але він дозволяє вводити щомісячні додаткові депозити до комітента, що корисно для розрахунку заробітку там, де вносяться додаткові щомісячні заощадження.
- Безкоштовний онлайн-калькулятор відсотків із ще кількома функціями доступний на сайті TheCalculatorSite.com. Цей калькулятор дозволяє проводити розрахунки для різних валют, можливість враховувати щомісячні депозити або зняття коштів, а також можливість мати автоматичне обчислення збільшення з урахуванням інфляції до щомісячних депозитів або зняття коштів.
Частота змішування
Відсотки можуть збільшуватися за будь-яким певним графіком, від щоденного до щорічного. Існують стандартні графіки частотних складок, які зазвичай застосовуються до фінансових інструментів.
Часто застосовуваний графік грошовому ринку це часто щодня. Для іпотечних позик під заставу, позик під заставу власного капіталу, позик під особистий бізнес або рахунків на кредитних картках найчастіше застосовується графік складання щомісяця.
Також можуть бути варіації часових рамок, протягом яких нараховані відсотки фактично зараховуються до існуючого залишку. Відсотки за рахунком можуть нараховуватися щодня, але зараховуватися лише щомісяця. Лише коли відсотки фактично зараховані або додані до існуючого залишку, він починає отримувати додаткові відсотки на рахунку.
Деякі банки також пропонують щось, що називається постійно складаючими відсотками, яке щоразу додає відсотки до основного боргу. З практичних цілей він не нараховує набагато більше, ніж щоденні складання відсотків, якщо ви не хочете вкласти гроші та вивезти їх того ж дня.
Частіше складання відсотків вигідне інвестору або кредитору. Для позичальника все навпаки.
Часова вартість грошей
Розуміння тимчасової вартості грошей та експоненціального зростання, створеного комбінуванням, має важливе значення для інвесторів, які прагнуть оптимізувати розподіл своїх доходів та багатства.
Формули для отримання майбутньої вартості (FV) та теперішньої вартості (PV) є такими:
FV = PV (1 + i) n та PV = FV / (1 + i) n
Наприклад, майбутня вартість 10 000 доларів складає 5% щороку протягом трьох років:
= 10 000 дол. США (1 + 0,05)
3
= 10 000 доларів (1,157625)
= 11 576,25 дол
Нинішня вартість 11 576,25 дол. США зі знижкою становить 5% протягом трьох років:
= 11 576,25 дол. США / (1 + 0,05)
3
= 11 576,25 дол. США / 1,157625
= 10 000 доларів
Взаємна величина 1,157625, яка дорівнює 0,8638376, є коефіцієнтом дисконтування в цьому випадку.
Розгляд “Правила 72”
Так зване правило 72 обчислює приблизний час, протягом якого інвестиція подвоїться за даної норми прибутку або відсотків “i”, і визначається як (72 / i). Його можна використовувати лише для щорічного складання.
Як приклад, інвестиція, що має річну прибутковість 6%, подвоїться за 12 років. Таким чином, інвестиція із річною нормою прибутку у 8% подвоїться за дев’ять років.
Складний річний темп приросту (CAGR)
Складений річний темп приросту (CAGR) використовується для більшості фінансових додатків, що вимагають розрахунку єдиного темпу зростання протягом певного періоду часу.
Скажімо, ваш інвестиційний портфель зріс із 10 000 до 16 000 доларів за п’ять років; що таке CAGR? По суті, це означає, що PV = – 10 000 дол. США, FV = 16 000 дол. США і nt = 5, тому слід обчислити змінну “i”. За допомогою фінансового калькулятора або Excel можна показати, що i = 9,86%.
Короткий огляд
Згідно з конвенцією про рух грошових коштів, ваші початкові інвестиції (PV) у розмірі 10 000 доларів відображаються з негативним знаком, оскільки вони представляють відтік коштів. PV і FV обов’язково повинні мати протилежні знаки, щоб розв’язати “i” у наведеному вище рівнянні.
CAGR Реальні програми
CAGR широко використовується для розрахунку прибутковості за періоди часу для акцій, пайових фондів та інвестиційних портфелів. CAGR також використовується для встановлення того, чи менеджер взаємного фонду чи менеджер портфеля перевищив ринкову норму прибутку за певний період. Наприклад, якщо індекс ринку забезпечив загальну прибутковість 10% протягом п’ятирічного періоду, але менеджер фонду за той самий період приніс лише 9% річної прибутковості, менеджер поступався ринку.
CAGR також може бути використаний для розрахунку очікуваних темпів зростання інвестиційних портфелів протягом тривалих періодів часу, що корисно для таких цілей, як економія на пенсію. Розглянемо такі приклади:
Приклад 1: Інвестор, котрий не схильний до ризику, задоволений помірною 3% річною нормою прибутку на свій портфель. Отже, її теперішній портфель у 100 000 доларів зросте до 180 611 доларів через 20 років. На відміну від цього, інвестор, схильний до ризику, який очікує щорічну прибутковість у своєму портфелі 6%, через 20 років зросте 100 000 доларів до 320 714 доларів.
Приклад 2: CAGR може бути використаний для оцінки того, скільки потрібно прибрати, щоб заощадити для конкретної мети. Парі, яка хотіла б заощадити 50 000 доларів США протягом 10 років на авансовому внеску на квартирі, потрібно було б економити 4165 доларів на рік, якщо вони припускають щорічну прибутковість (CAGR) 4% своїх заощаджень. Якщо вони готові піти на додатковий ризик і розраховувати на показник CAGR у розмірі 5%, їм доведеться щороку економити 3975 доларів.
Приклад 3: CAGR також може бути використаний для демонстрації достоїнств інвестування раніше, а не пізніше в житті. Якщо мета полягає в тому, щоб заощадити 1 мільйон доларів до виходу на пенсію у віці 65 років, виходячи з показника CAGR 6%, 25-річному віку потрібно буде економити 6 462 долари на рік, щоб досягти цієї мети. З іншого боку, 40-річному віку для досягнення тієї ж мети потрібно було б заощадити 18 227 доларів, або майже втричі більше, ніж ця сума.
- CAGR також часто з’являються в економічних даних. Ось приклад: ВВП на душу населення в Китаї зріс із 193 доларів у 1980 році до 6091 доларів у 2012 році. Яким є річний приріст ВВП на душу населення за цей 32-річний період? Темп зростання “i” у цьому випадку виявляється вражаючими 11,4%.
Плюси та мінуси складання
Хоча магія складання призвела до апокрифічної історії Альберта Ейнштейна, який назвав це восьмим чудом світу чи найбільшим винаходом людини, складання може також спрацювати проти споживачів, які мають позики з дуже високими процентними ставками, такі як борг за кредитною карткою. Залишок на кредитній картці в розмірі 20 000 доларів, що перераховується за відсотковою ставкою 20%, що складається щомісяця, призведе до загальної суми складних відсотків у розмірі 4 388 доларів за рік або близько 365 доларів на місяць.
Позитивним є те, що магія складання може піти вам на користь, коли справа стосується ваших інвестицій, і може стати потужним фактором у створенні багатства. Експоненціальне зростання від збільшення відсотків також має важливе значення для пом’якшення факторів, що погіршують багатство, таких як зростання вартості життя, інфляція та зниження купівельної спроможності.
Взаємні фонди пропонують інвесторам один із найпростіших способів скористатися перевагами складених відсотків. Вибір реінвестувати дивіденди, отримані від пайового фонду, призводить до придбання більшої кількості акцій фонду. З часом накопичується більше складних відсотків, і цикл придбання більшої кількості акцій продовжуватиме сприяти зростанню вартості інвестицій у фонд.
Розглянемо інвестиції взаємного фонду, відкриті з початковими 5000 доларів США та щорічним додаванням 2400 доларів США. При середній річній прибутковості 12% за 30 років майбутня вартість фонду складає 798 500 доларів. Складені відсотки – це різниця між грошовими коштами, внесеними в інвестиції, та фактичною майбутньою вартістю інвестиції. У цьому випадку, вносячи 77 000 доларів США або сукупний внесок лише 200 доларів на місяць протягом 30 років, складені відсотки становлять 721 500 доларів майбутнього залишку.
Звичайно, прибуток від складних відсотків оподатковується, якщо тільки гроші не перебувають на податковому обліку; це, як правило, оподатковується за стандартною ставкою, пов’язаною з податковою системою платника податків.
Складені процентні інвестиції
Інвестор, який вибирає план реінвестування на брокерському рахунку, по суті використовує силу складання в будь-який вклад. Інвестори також можуть відчути збільшення відсотків при придбанні облігації з нульовим купоном. Традиційні випуски облігацій надають інвесторам періодичні виплати відсотків на основі початкових умов випуску облігацій, і оскільки вони виплачуються інвестору у формі чека, відсотки не складаються.
Облігації з нульовим купоном не надсилають чеків на відсотки інвесторам; натомість цей тип облігацій купується зі знижкою до початкової вартості і з часом зростає. Емітенти облігацій з нульовим купоном використовують силу складання, щоб збільшити вартість облігації, щоб вона досягла повної ціни на момент погашення.
Поєднання може також допомогти вам при виплаті позики. Здійснюючи, наприклад, половину іпотечного платежу двічі на місяць, замість того, щоб вносити повний платіж раз на місяць, врешті-решт скоротите свій період амортизації та заощадите значну суму відсотків.
Якщо говорити про позики…
Повідомлення, якщо відсотки складені
Закон ” Правда в позиках ” (TILA) вимагає, щоб позикодавці розкривали умови позики потенційним позичальникам, включаючи загальну суму доларових відсотків, що підлягають погашенню протягом терміну дії позики, та чи нараховуються відсотки просто чи складаються.
Інший метод полягає у порівнянні процентної ставки позики з річною процентною ставкою (річною процентною ставкою), яку TILA також вимагає від кредиторів. APR перетворює фінансові витрати за вашим кредитом, які включають усі відсотки та збори, на просту процентну ставку. Істотна різниця між процентною ставкою і АТР означає один або обидва з двох сценаріїв: Ваш кредит використовує складні відсотки, або вона включає в себе значні збори кредиту на додаток до відсотків. Навіть якщо мова йде про один і той самий вид позики, діапазон річних може різко відрізнятися в залежності від позикодавців залежно від плати фінансової установи та інших витрат.
Ви зауважите, що процентна ставка, з якої вам стягується, також залежить від вашої кредитної суми. Позики, що пропонуються тим, хто має відмінні кредити, мають значно нижчі процентні ставки, ніж шланги, що нараховуються тим, хто має поганий кредит.
Питання що часто задаються
Що таке просте визначення складних відсотків?
Складені відсотки стосуються явища, коли відсотки, пов’язані з банківським рахунком, позикою чи інвестицією, з часом зростають в геометричній прогресії, а не лінійно. Ключем до розуміння цього поняття є слово “склад”. Припустимо, ви вкладаєте 100 доларів у бізнес, який щороку виплачує 10% дивідендів. Ви можете вибрати або розмістити ці виплати дивідендів у вигляді готівки, або реінвестувати ці виплати в додаткові акції. Якщо ви оберете другий варіант, реінвестуючи дивіденди та склавши їх разом із вашими початковими інвестиціями в 100 доларів, то прибуток, який ви генеруєте, з часом почне зростати.
Кому вигідні складні відсотки?
Простіше кажучи, складені відсотки вигідні інвесторам, але значення поняття “інвестори” може бути досить широким. Наприклад, банки отримують вигоду від складених відсотків, коли вони позичають гроші та реінвестують отримані відсотки у надання додаткових позик. Вкладники також отримують вигоду від складених відсотків, коли вони отримують відсотки на свої банківські рахунки, облігації чи інші інвестиції. Важливо зазначити, що хоча термін «складені відсотки» включає слово «відсотки», поняття застосовується за межами ситуацій, коли слово відсотки зазвичай використовується, наприклад, банківські рахунки та позики.
Чи можуть складні відсотки зробити вас багатими?
Так. Насправді складені відсотки є, мабуть, найпотужнішою силою для створення багатства, коли-небудь задуманою. Є записи про купців, позикодавців та різних ділових людей, які використовують складні відсотки, щоб збагатитися буквально тисячі років. Наприклад, у стародавньому місті Вавилоні глиняні таблички використовувались понад 4000 років тому для навчання учнів математиці складених відсотків.
У сучасні часи Уоррен Баффет став одним із найбагатших людей у світі завдяки бізнес-стратегії, яка передбачала старанне та терпляче складання його інвестиційної віддачі протягом тривалих періодів часу. Цілком імовірно, що в тій чи іншій формі люди будуть використовувати складні відсотки для отримання багатства в найближчому майбутньому.