Умовна ймовірність

Умовна ймовірність буде розглядати ці дві події у взаємозв’язку, наприклад, ймовірність того, що вас обох приймуть до коледжу,  і  ви отримаєте житло в гуртожитку.

Умовну ймовірність можна протиставити безумовній ймовірності. Безумовна ймовірність відноситься до ймовірності того, що подія відбудеться незалежно від того, чи відбулися якісь інші події чи якісь інші умови.

Розуміння умовної ймовірності

Як зазначалося раніше, умовні ймовірності залежать від попереднього результату. Це також робить ряд припущень. Наприклад, припустимо, ви малюєте з мішка три кулі – червоний, синій та зелений. Кожен мармур має рівні шанси бути намальованим. Яка умовна ймовірність намалювати червоний мармур після того, як уже намалювали синій?

По-перше, ймовірність намалювати блакитний мармур становить близько 33%, оскільки це один із можливих результатів із трьох. Якщо припустити, що відбулася перша подія, залишиться два кульки, кожна з яких має 50% шансів бути розіграною. Тож шанс намалювати синій мармур після того, як уже намалювали червоний мармур, склав би близько 16,5% (33% х 50%).

В якості іншого прикладу для подальшого розуміння цієї концепції, розглянемо, що чесна плашка була закатана, і вас просять дати ймовірність того, що це була п’ятірка. Є шість однаково ймовірних результатів, тож ваша відповідь 1/6. Але уявіть, що перед тим, як відповісти, ви отримаєте додаткову інформацію про те, що прокатуване число було непарним. Оскільки можливі лише три непарні числа, одне з яких – п’ять, ви, безсумнівно, переглянете свою оцінку щодо ймовірності того, що п’ятірка була перенесена з 1/6 на 1/3.

Ця  переглянута  ймовірність того, що  сталася подія  A, враховуючи додаткову інформацію про те, що ще одна подія  B  безумовно сталася під час цього випробування експерименту, називається  умовною ймовірністю  A  заданої  B  і позначається P (A | B).

Формула умовної ймовірності

P (B | A) = P (A і B) / P (A)

Або:

P (B | A) = P (A∩B) / P (A)

Ще один приклад умовної ймовірності

В якості іншого прикладу припустимо, що студент подає заявку на вступ до університету і сподівається отримати академічну стипендію. Школа, до якої вони подають документи, приймає 100 з кожних 1000 абітурієнтів (10%) і присуджує академічні стипендії 10 з кожних 500 прийнятих учнів (2%). З-поміж стипендіатів 50% з них також отримують стипендії на навчання, харчування та житло. Для нашого амбіційного студента шанс отримати їх після отримання стипендії становить 0,2% (.1 х.02). Шанс їх прийняти, отримати стипендію, а потім отримати стипендію на книги тощо становить 0,1% (.1 х.02 х.5). (Ви також можете перевірити теорему Байєса.)

Умовна ймовірність проти спільної ймовірності та граничної ймовірності

Умовна ймовірність : p (A | B) – це ймовірність настання події A, враховуючи, що подія B відбувається. Приклад: враховуючи, що ви намалювали червону картку, якою є ймовірність того, що це четвірка (p (чотири | червона)) = 2/26 = 1/13. Отже, з 26 червоних карток (з урахуванням червоної картки) є дві четвірки, тож 2/26 = 1/13.

Гранична ймовірність : ймовірність настання події (p (A)), вона може розглядатися як безумовна ймовірність. Це не обумовлено іншою подією. Приклад: ймовірність того, що витягнута карта є червоною (p (червона) = 0,5). Інший приклад: ймовірність того, що витягнута карта дорівнює 4 (p (чотири) = 1/13).

Сумісна ймовірність : p (A і B). Ймовірність настання події А  та  В. Це ймовірність перетину двох або більше подій. Імовірність перетину A і B можна записати p (A ∩ B). Приклад: ймовірність того, що картка має чотири, а червоний = p (чотири та червоний) = 2/52 = 1/26. (У колоді 52 є два червоних четвірки, 4 серця і 4 діаманти).

Теорема Байєса

Теорема Байєса, названа на честь британського математика 18 століття Томаса Байєса, є математичною формулою для визначення умовної ймовірності. Теорема забезпечує спосіб перегляду існуючих прогнозів або теорій (ймовірностей оновлення) з урахуванням нових або додаткових доказів. У сфері фінансів теорему Байєса можна використовувати для оцінки ризику позики грошей потенційним позичальникам.

Теорема Байєса також називається правилом Байєса або Законом Байєса і є основою поля байєсівської статистики. Цей набір правил імовірності дозволяє оновлювати свої прогнози подій, що відбуваються, на основі отриманої нової інформації, роблячи кращі та динамічніші оцінки.