Теорія ігор: Поза межами основ

Використовуючи теорію ігор, можна викласти реальні сценарії таких ситуацій, як цінова конкуренція та випуск продуктів (і багато іншого), а також прогнозувати їх результати. Компанії, які використовують (і дотримуються) цей пристрій для визначення рівноваги Неша, бачать величезну користь у своїх стратегіях бюджетування. (Див. Також:  Основи теорії ігор.)

Чия черга?

Хоча в послідовні ігри грають по черзі, одночасні ігри проводяться з кожним гравцем, який приймає рішення одночасно. При одночасних іграх ми більше не використовуємо загальновступний метод зворотної індукції. Прихильники теорії ігор часто фіксують різні результати в тому, що називається матрицею (нижче).

Цю матрицю називають нормальною формою. Вибір гравця відображається на лівій вертикальній осі, а вибір гравця – на верхній горизонтальній осі. Виграші для кожного гравця знаходяться у відповідних перетинах і відображаються наступним чином (гравець один, гравець два).

Рівновага Неша

Наш рівновагу – це досягнутий результат, який після досягнення означає, що жоден гравець не може збільшити виграш, змінюючи рішення в односторонньому порядку. Це також можна сприймати як “не шкодує”, в тому сенсі, що після прийняття рішення гравець не буде шкодувати щодо рішень, що враховують наслідки.

Рівновага Неша досягається з часом, у більшості випадків. Однак, як тільки буде досягнута рівновага Неша, від неї не буде відхилятися. Після того, як ми дізнаємося, як знайти рівновагу Неша, подивіться, як односторонній крок вплине на ситуацію. Це має сенс? Це не повинно, і тому рівновага Неша описується як “не шкодує”.

Пошук рівноваги Неша

Крок перший: Визначте найкращу реакцію гравця на дії гравця двох. Вивчаючи вибір, який може максимізувати виплату гравця, ми повинні поглянути на те, як гравець повинен реагувати на кожен з варіантів, які має два гравця. Найпростіший спосіб зробити це візуально – приховати вибір другого гравця. Розглянемо матрицю, зображену на початку цієї статті, коли ми застосовуємо цей метод.

Гравець один має два можливі варіанти гри: “вгору” або “вниз”. Гравець два також має два варіанти гри: “ліворуч” або “праворуч”. На цьому етапі визначення рівноваги Неша ми розглядаємо відповіді на дії гравця двох. Якщо гравець два вирішив грати “ліворуч”, ми можемо грати “вгору” з виграшем 1 або грати “вниз” з виграшем 3. Оскільки 3 більше 1, ми виділимо жирним шрифтом 3, вказуючи можливість гри “униз” тут.

Якщо гравець два вирішив грати “правильно”, ми можемо вибрати або зіграти “вгору” з виграшем 4, або зіграти “вниз” для плей-офф 3. Оскільки 4 більше 3, ми виділяємо жирним шрифтом 4, щоб вказати варіант грати тут “вгору”. Жирні результати наведені нижче на повній матриці.

Крок другий: Визначте найкращу реакцію гравця два на дії гравця. Як і раніше з двома виграшами гравця за одного гравця, ми будемо приховувати виграші гравця один, визначаючи найкращі відповіді для гравця два. (Див. Також:  Провідні показники поведінкових фінансів.)

Так само, як при розгляді гравця один, кожен гравець має два варіанти гри. Якщо гравець вирішив грати “вгору”, ми можемо грати “вліво”, з виграшем 3 або “вправо”, з виграшем 2. Оскільки 3 більше 2, ми виділяємо жирним шрифтом 3, щоб показати варіант грати “ліворуч” тут. Якщо гравець вирішив грати “вниз”, ми можемо грати “ліворуч”, з виграшем 2 або “праворуч” з виграшем 1. Оскільки 2 більше 1, ми виділяємо жирним шрифтом 2 позначення опції гри “ліворуч” тут. Жирні результати наведені нижче на повній матриці.

Крок третій: Визначте, які результати мають обидва виграші напівжирними. Таким конкретним результатом є рівновага Неша. Тепер ми поєднуємо жирні варіанти для обох гравців у повну матрицю.

Зверніть увагу на перехрестя, де обидва виграші є жирними У цьому випадку ми знаходимо перетин (Вниз, Вліво) з виграшем (3, 2) відповідає нашим критеріям. Це вказує на нашу рівновагу за Нешем.

Цей метод пошуку рівноваги Неша добре підходить для знаходження рівноваги в одночасних іграх, оскільки ми розглядаємо, як гравець реагуватиме незалежно від того, як діють інші. Цей сценарій одночасної гри часто розігрується на таких підприємствах, як авіакомпанії. Нижче наведено приклад, подібний до наведеної вище гри, того, як можуть відбуватися ціни на авіакомпанії. Виплати складають тисячі доларів. Пам’ятайте, це виплати, а не ціни. Метод, який ми застосовували раніше, вже застосовується, щоб показати, де з’являється рівновага Неша.

Дивлячись лише на вибір А1, ми можемо побачити, що якщо А2 вирішить грати за низькою ціною, ми вибираємо між низькою ціною за 3000 або високою ціною за 2000. Ми вибираємо низький, оскільки 3000> 2000. Ми робимо те саме для A2, що грає високу ціну і бачимо, що ми граємо низько, тому що 4000> 3500. І навпаки, дивлячись лише на вибір A2, ми можемо побачити, що якщо A1 вирішить грати за низькою ціною, ми вибираємо між “низькою ціною” за 3000 і “високою ціною” за 2000. Оскільки 3000> 2000, ми обираємо тут варіант низької ціни. Якщо A1 грає високу ціну, ми можемо стягувати низьку ціну за 4000 або високу ціну за 3500. Оскільки 4000> 3500, ми вирішили зіграти тут низьку ціну.

Наша рівновага полягає в тому, що обидві авіакомпанії стягуватимуть низьку ціну (відображається, коли виділяється вибір для кожної партії). Якби обидві авіакомпанії стягували високу ціну, кожному з них було б вигідніше, ніж у рівновазі Неша.

То чому вони не погоджуються це зробити? По-перше, це незаконна змова. По-друге, якби це сталося, односторонні дії від імені однієї авіакомпанії щодо стягнення низької ціни були б вигідними, в результаті чого ця авіакомпанія заробляла б у свою чергу більше грошей. Ця логіка також показує, як досягається рівновага Неша, і чому не вигідно відступати від неї, коли вона досягнута. (Див. Також:  Поведінкові фінанси.)

Множинні еквіваленти Неша

Як правило, в грі може бути не одна рівновага. Однак це зазвичай відбувається в іграх із більш складними елементами, ніж два варіанти вибору двома гравцями. У одночасних іграх, які повторюються з часом, одна із цих множинних рівноваг досягається після певних спроб та помилок. Цей сценарій різного вибору з часом до досягнення рівноваги найчастіше розігрується у діловому світі, коли дві фірми визначають ціни на високо взаємозамінні продукти, такі як авіаперельоти або безалкогольні напої.

Суть

За допомогою цих передових методів можна моделювати та вирішувати більше реальних ситуацій. Різні види Nash Equilibria, про які ми говорили, є найбільш часто зустрічаються рішеннями для реальних модельованих ігор. Практичні знання теорії ігор можуть допомогти вам сформувати стратегію, будь то гра в хрестики-нулики або змагання за найбільший прибуток.