Тестування гіпотез у фінансах: поняття та приклади
Ваш інвестиційний радник пропонує вам щомісячний план інвестування доходу, який обіцяє змінну прибутковість кожного місяця. Ви будете інвестувати в нього, лише якщо будете впевнені у середньому в 180 доларів на місяць. Ваш радник також повідомляє вам, що за останні 300 місяців схема мала інвестиційну віддачу із середньою вартістю 190 доларів та стандартним відхиленням 75 доларів. Чи варто інвестувати в цю схему? Перевірка гіпотез допомагає у прийнятті таких рішень.
Ключові винос
- Перевірка гіпотез – це математичний інструмент для підтвердження фінансової чи ділової вимоги чи ідеї.
- Перевірка гіпотез корисна для інвесторів, які намагаються вирішити, в що інвестувати та чи може інструмент забезпечити задовільну віддачу.
- Незважаючи на існування різних методологій перевірки гіпотез, використовуються однакові чотири кроки: визначити гіпотезу, встановити критерії, обчислити статистику та дійти висновку.
- Ця математична модель, як і більшість статистичних інструментів та моделей, має обмеження та схильна до певних помилок, що вимагає від інвесторів розгляду інших моделей у поєднанні з цією.
Що таке перевірка гіпотез?
Тестування гіпотези чи значущості – це математична модель для перевірки твердження, ідеї чи гіпотези про параметр, що цікавить дану сукупність сукупностей, із використанням даних, виміряних у наборі вибірки. Обчислення проводяться на вибраних зразках для збору більш рішучої інформації про характеристики всієї сукупності, що дозволяє систематично перевіряти претензії або уявлення про весь набір даних.
Ось простий приклад: директор школи повідомляє, що учні в їх школі на іспитах оцінюють в середньому 7 з 10. Щоб перевірити цю «гіпотезу», ми реєструємо оцінки приблизно 30 учнів (вибірка) від усієї кількості учнів школи (скажімо 300) і обчислюємо середнє значення цієї вибірки. Потім ми можемо порівняти (розраховане) середнє значення вибірки із (зареєстрованим) середнім показником популяції та спробувати підтвердити гіпотезу.
Візьмемо ще один приклад: річна прибутковість певного пайового фонду становить 8%. Припустимо, що взаємний фонд існує вже 20 років. Ми беремо випадкову вибірку річних прибутків пайового фонду, скажімо, за п’ять років (вибірка) і обчислюємо її середнє значення. Потім ми порівнюємо (розраховане) середнє значення вибірки із (заявленим) середнім показником для перевірки гіпотези.
Короткий огляд
Ця стаття передбачає знайомство читачів з поняттями звичайної таблиці розподілу, формули, значення p та пов’язаних з ними основ статистики.
Існують різні методології перевірки гіпотез, але беруть участь однакові чотири основні етапи:
Крок 1: Визначте гіпотезу
Зазвичай повідомлена вартість (або статистика позовів) викладається як гіпотеза і вважається істинною. Для наведених прикладів гіпотезою буде:
- Приклад А: Студенти в школі на іспитах оцінюють в середньому 7 з 10.
- Приклад Б: Річна прибутковість пайового фонду становить 8% річних.
Цей викладений опис становить ” нульову гіпотезу (Н 0 ) ” і вважається істинним – спосіб, яким обвинувачений у суді присяжних вважається невинним, доки вину не буде доведено доказами, представленими в суді. Подібним чином, перевірка гіпотез починається з висловлення та припущення ” нульової гіпотези “, а потім процес визначає, чи є припущення істинним чи хибним.
Важливим моментом є те, що ми перевіряємо нульову гіпотезу, оскільки існує елемент сумнівів щодо її достовірності. Яка б інформація, яка суперечить заявленій нульовій гіпотезі, фіксується в Альтернативній гіпотезі (H 1 ). Для наведених прикладів альтернативною гіпотезою буде:
- Учні оцінюють середнє значення, яке не дорівнює 7.
- Річна прибутковість пайового фонду не дорівнює 8% річних.
Іншими словами, альтернативна гіпотеза є прямим протиріччям нульової гіпотези.
Як і під час судового розгляду, присяжні припускають невинуватість обвинуваченого (нульова гіпотеза). Прокурор повинен довести протилежне (альтернативна гіпотеза). Подібним чином дослідник повинен довести, що нульова гіпотеза є істинною, або хибною. Якщо прокурор не може довести альтернативну гіпотезу, присяжні повинні відпустити обвинуваченого (ґрунтуючи рішення на нульовій гіпотезі). Подібним чином, якщо досліднику не вдається довести альтернативну гіпотезу (або просто нічого не робить), то нульова гіпотеза вважається істинною.
Короткий огляд
Критерії прийняття рішень повинні базуватися на певних параметрах наборів даних.
Крок 2: Встановіть критерії
Критерії прийняття рішень повинні базуватися на певних параметрах наборів даних, і саме тут з’являється зв’язок із нормальним розподілом.
Відповідно до стандартного постулату статистики щодо розподілу вибірки, «Для будь-якого обсягу вибірки n розподіл вибірки X̅ є нормальним, якщо популяція X, з якої відібрана вибірка, зазвичай розподіляється». Отже, ймовірності всіх інших можливих зразків означають, що можна відібрати, як правило, розподілені.
Наприклад, визначте, чи середня щоденна прибутковість будь-яких акцій, котируваних на фондовому ринку XYZ, близько Нового року перевищує 2%.
H 0 : Нульова гіпотеза: середнє = 2%
H 1 : Альтернативна гіпотеза: середнє значення> 2% (це те, що ми хочемо довести)
Візьміть вибірку (скажімо, 50 запасів із загальної кількості 500) і обчисліть середнє значення вибірки.
Для нормального розподілу 95% значень лежать у межах двох стандартних відхилень середнього значення сукупності. Отже, цей нормальний розподіл та припущення центральної межі для набору даних вибірки дозволяє нам встановити 5% як рівень значущості. Це має сенс, оскільки, згідно з цим припущенням, існує менше ніж 5% вірогідності (100-95) отримання відхилень, що перевищують два стандартних відхилення від середнього показника популяції. Залежно від природи наборів даних, інші рівні значущості можуть прийматися на рівні 1%, 5% або 10%. Для фінансових розрахунків (включаючи поведінкові фінанси) 5% є загальноприйнятим лімітом. Якщо ми знайдемо будь-які розрахунки, які виходять за рамки звичайних двох стандартних відхилень, тоді ми маємо вагомий випадок, щоб відхилити нульову гіпотезу.
Графічно він представлений таким чином:
У наведеному вище прикладі, якщо середнє значення вибірки набагато більше 2% (скажімо, 3,5%), ми відкидаємо нульову гіпотезу. Приймається альтернативна гіпотеза (середнє значення> 2%), яка підтверджує, що середньодобова віддача запасів насправді перевищує 2%.
Однак, якщо середнє значення вибірки, ймовірно, не буде значно більшим за 2% (і залишається, скажімо, близько 2,2%), то ми НЕ МОЖЕМО відкинути нульову гіпотезу. Проблема постає перед тим, як прийняти рішення щодо таких випадків з близької відстані. Щоб зробити висновок із вибраних зразків та результатів, слід визначити рівень значущості, що дозволяє зробити висновок про нульову гіпотезу. Альтернативна гіпотеза дозволяє встановити рівень значущості або концепцію “критичного значення” для прийняття рішення щодо таких випадків з близької відстані.
Згідно зістандартним визначенням підручника, «критичне значення – це граничне значення, яке визначає межі, за якими можна отримати менше 5% середніх показників, якщо нульова гіпотеза відповідає дійсності.Зразок середніх значень, отриманих понад критичне значення, призведе до рішення про відхилення нульової гіпотези “. У наведеному вище прикладі, якщо ми визначили критичне значення як 2,1%, а обчислене середнє дорівнює 2,2%, тоді ми відхиляємо нульова гіпотеза. Критичне значення встановлює чітке розмежування щодо прийняття чи відхилення.
Крок 3: Обчисліть статистику
Цей крок включає обчислення необхідних цифр (цифр), відомих як статистичні дані тесту (наприклад, середнє значення, z-оцінка, р-значення тощо) для обраної вибірки. (До них ми дійдемо пізніше).
Крок 4: Прийміть висновок
З урахуванням обчислених значень визначте нульову гіпотезу. Якщо ймовірність отримати середнє значення вибірки менше 5%, то висновок полягає у відхиленні нульової гіпотези. В іншому випадку прийміть і збережіть нульову гіпотезу.
Типи помилок
При прийнятті рішень на основі вибірки може бути чотири можливих результати щодо правильної застосовності до всієї сукупності:
«Правильні» випадки – це випадки, коли рішення, прийняті за вибірками, дійсно застосовуються до всієї сукупності. Випадки помилок виникають, коли вирішується зберегти (або відхилити) нульову гіпотезу на основі вибіркових розрахунків, але це рішення насправді не стосується всієї сукупності. Ці випадки становлять помилки типу 1 ( альфа ) та типу 2 ( бета ), як зазначено у таблиці вище.
Вибір правильного критичного значення дозволяє усунути альфа-помилки типу 1 або обмежити їх до прийнятного діапазону.
Альфа позначає похибку на рівні значущості і визначається дослідником. Для підтримання стандартної 5% значущості або рівня довіри для розрахунків ймовірності, вона зберігається на рівні 5%.
Відповідно до застосовних критеріїв та визначень для прийняття рішень:
- «Цей (альфа-критерій) зазвичай встановлюється на рівні 0,05 (а = 0,05), і ми порівнюємо альфа-рівень із значенням р.Коли ймовірність помилки типу I менше 5% (p <0,05), ми вирішуємо відхилити нульову гіпотезу;інакше ми зберігаємо нульову гіпотезу ".
- Технічним терміном, що використовується для цієї ймовірності, єр-значення.Він визначається як «ймовірність отримання результату вибірки, враховуючи, що значення, вказане в нульовій гіпотезі, є істинним.Значення р для отримання результату вибірки порівнюється з рівнем значимості “.
- Помилка типу II або бета-помилка визначається як ймовірність неправильного збереження нульової гіпотези, хоча насправді вона не застосовується до всієї сукупності.
Ще кілька прикладів продемонструють це та інші розрахунки.
Приклад 1
Існує схема щомісячного інвестування доходу, яка обіцяє змінну щомісячну дохідність. Інвестор інвестуватиме в нього лише в тому випадку, якщо їм буде гарантовано щомісячний дохід у середньому 180 доларів США. Інвестор має вибірку дохідності за 300 місяців, середнє значення якої становить 190 доларів США, а стандартне відхилення – 75 доларів. Чи слід їм інвестувати в цю схему?
Давайте розберемо проблему. Інвестор буде інвестувати в схему, якщо він буде впевнений у бажаній інвестором середній прибутковості в 180 доларів.
H 0 : Нульова гіпотеза: середнє = 180
H 1 : Альтернативна гіпотеза: середнє значення> 180
Метод 1: Підхід критичної цінності
Визначте критичне значення X L для середнього значення вибірки, яке є достатньо великим, щоб відхилити нульову гіпотезу – тобто відхилити нульову гіпотезу, якщо середнє значення вибірки> = критичне значення X L
P (визначити помилку альфа типу I) = P (відхилити H 0, враховуючи, що H 0 відповідає дійсності),
Це було б досягнуто, коли середнє значення вибірки перевищує критичні межі.
= P (враховуючи, що H 0 істинно) = альфа
Графічно це виглядає так:
Беручи альфа = 0,05 (тобто 5% рівень значущості), Z 0,05 = 1,645 (із таблиці Z або таблиці нормального розподілу)
=> X L = 180 + 1,645 * (75 / sqrt (300)) = 187,12
Оскільки середнє значення вибірки (190) перевищує критичне значення (187,12), нульова гіпотеза відхиляється, і робиться висновок, що середньомісячна прибутковість справді перевищує 180 доларів, тому інвестор може розглянути можливість інвестування в цю схему.
Метод 2: Використання стандартизованої статистики випробувань
Можна також використовувати стандартизоване значення z.
Статистика тесту, Z = (середнє значення вибірки – середнє значення сукупності) / (std-dev / sqrt (кількість зразків).
Тоді область відхилення стає такою:
Z = (190-180) / (75 / кв.рт (300)) = 2,309
Наша область відхилення на рівні 5% значущості становить Z> Z 0,05 = 1,645.
Оскільки Z = 2,309 перевищує 1,645, нульову гіпотезу можна відхилити, маючи подібний висновок, згаданий вище.
Метод 3: Розрахунок значення P
Ми прагнемо визначити Р (середнє значення вибірки> = 190, коли середнє = 180).
= P (Z> = (190-180) / (75 / sqrt (300))
= P (Z> = 2,309) = 0,0084 = 0,84%
У наведеній нижче таблиці для виведення розрахункових значень р дійде висновку, що є підтверджені дані про середньомісячну прибутковість, що перевищує 180:
Приклад 2
Новий біржовий брокер (XYZ) стверджує, що плата за посередницькі послуги нижче, ніж у поточного біржового брокера (ABC). Дані незалежної дослідницької фірми вказують на те, що середнє та стандартне значення всіх клієнтів брокера ABC становлять 18 і 6 доларів США відповідно.
Відбирається вибірка з 100 клієнтів ABC та обчислюються комісії за посередницькі послуги за новими ставками брокера XYZ. Якщо середнє значення вибірки становить 18,75 дол. США, а std-dev однакове (6 дол. США), чи можна зробити висновок про різницю в середньому рахунку за посередницькі послуги між ABC та брокером XYZ?
H 0 : Нульова гіпотеза: середнє = 18
H 1 : Альтернативна гіпотеза: середнє значення 18 (Це те, що ми хочемо довести.)
Область відхилення: Z = Z 2,5 (при умові 5% рівня значущості, розділіть по 2,5 по обидва боки).
Z = (середнє значення вибірки – середнє) / (std-dev / sqrt (кількість зразків))
= (18,75 – 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1,25
Це розраховане значення Z потрапляє між двома межами, визначеними:
– Z 2,5 = -1,96 і Z 2,5 = 1,96.
З цього випливає, що недостатньо доказів того, що існує різниця між ставками вашого існуючого брокера та нового брокера.
Як варіант, значення p = P (Z 1,25)
= 2 * 0,1056 = 0,2112 = 21,12%, що перевищує 0,05 або 5%, що призводить до того ж висновку.
Графічно він представлений наступним чином:
Зауваження щодо гіпотетичного методу тестування:
- Статистичний метод, заснований на припущеннях
- Схильний до помилок, як це деталізовано щодо альфа- та бета-помилок
- Інтерпретація значення p може бути неоднозначною, що призводить до заплутаних результатів
Суть
Перевірка гіпотез дозволяє математичній моделі перевірити твердження чи ідею з певним рівнем довіри. Однак, як і більшість статистичних інструментів та моделей, він обмежений кількома обмеженнями. Використання цієї моделі для прийняття фінансових рішень слід розглядати критично, маючи на увазі всі залежності. Альтернативні методи, такі як висновок Байєса, також варто вивчити для подібного аналізу.