Оптимізуйте свій портфель, використовуючи звичайний розподіл
Нормальний розподіл є розподілом ймовірності того, що ділянки все його значення в симетричній моді з більшістю результатів, розташовані навколо вірогідності означає.
Нормальний (крива дзвона) розподіл
Набори даних (наприклад, зріст 100 людей, оцінки, отримані 45 учнями в класі тощо), як правило, мають багато значень в одній точці даних або в одному діапазоні. Такий розподіл точок даних називається нормальним або дзвоновим розподілом кривої.
Наприклад, у групі з 100 осіб 10 можуть бути нижчими від 5 футів, 65 – від 5 до 5,5 футів, а 25 – вище 5,5 футів. Цей розподіл, пов’язаний з діапазоном, можна побудувати наступним чином:
Аналогічно, точки даних, побудовані на графіках для будь-якого даного набору даних, можуть нагадувати різні типи розподілу. Три найпоширеніші – вирівняні за лівим краєм, вирівняні за правою панеллю та змішані розподіли:
Зверніть увагу на червону лінію тренду на кожному з цих графіків. Це приблизно вказує на тенденцію розподілу даних. Перший, “ЗАРАЗ вирівняний розподіл”, вказує, що більшість точок даних потрапляє в нижній діапазон. На другому графіку «ПРАВИЛЬНО вирівняне розподіл» більшість точок даних потрапляють у верхній кінець діапазону, тоді як останній, «Перемішаний розподіл», являє собою змішаний набір даних без чітких тенденцій.
Є багато випадків, коли розподіл точок даних має тенденцію бути навколо центрального значення, і цей графік показує ідеальний нормальний розподіл – однаково збалансований з обох сторін, причому найбільша кількість точок даних зосереджена в центрі.
Ось ідеальний, як правило, розподілений набір даних:
Центральним значенням тут є 50 (що має найбільшу кількість точок даних), а розподіл рівномірно звужується до крайніх кінцевих значень 0 і 100 (які мають найменшу кількість точок даних). Нормальний розподіл є симетричним щодо центрального значення з половиною значеннями на кожній стороні.
Багато прикладів у реальному житті відповідають розподілу кривої дзвона:
- Багато разів кидайте справедливу монету (скажімо, 100 і більше разів), і ви отримаєте збалансований нормальний розподіл голови та хвостів.
- Багато разів кидайте пару чітких кубиків (скажімо, 100 і більше разів), і результат буде збалансованим, нормальним розподілом, зосередженим навколо числа 7 і рівномірно звужується до крайніх значень 2 і 12.
- Зростання особин у групі значного розміру та оцінки, отримані людьми в класі, відповідають нормальним схемам розподілу.
- В області фінансів, зміни в лог значень по форекс ставки, індекси цін і цін на акції вважаються нормально розподілені.
Ризик і повернення
Будь-яка інвестиція має два аспекти: ризик і прибутковість. Інвестори шукають мінімально можливий ризик для максимально можливого прибутку. Нормальний розподіл кількісно визначає ці два аспекти за середнім значенням прибутковості та стандартним відхиленням для ризику.
Середнє або очікуване значення
Конкретна середня зміна ціни акції може становити 1,5% щодня – це означає, що в середньому вона зростає на 1,5%. Це середнє значення або очікуване значення, що означає прибуток, можна отримати, обчисливши середнє значення для досить великого набору даних, що містить історичні щоденні зміни цін цієї акції. Чим вище середнє значення, тим краще.
Стандартне відхилення
Стандартне відхилення вказує на величину, на яку значення в середньому відхиляються від середнього. Чим вище стандартне відхилення, тим ризикованіші інвестиції, оскільки це призводить до більшої невизначеності.
Ось графічне зображення того самого:
Отже, графічне представлення нормального розподілу через його середнє та стандартне відхилення дозволяє представляти як віддачу, так і ризик у чітко визначеному діапазоні.
Це допомагає знати (і бути впевненим у впевненості), що якщо якийсь набір даних відповідає нормальній схемі розподілу, його середнє значення дозволить нам знати, чого слід повертати, а його стандартне відхилення дозволить нам знати, що близько 68% значень буде в межах 1 стандартного відхилення, 95% в межах 2 стандартних відхилень і 99% значень буде в межах 3 стандартних відхилень. Набір даних, який має середнє значення 1,5 та стандартне відхилення 1, є набагато ризикованішим, ніж інший набір даних, який має середнє значення 1,5 та стандартне відхилення 0,1.
Знання цих значень для кожного обраного активу (тобто акцій, облігацій та фондів) дозволить інвестору усвідомити очікувані прибутки та ризики.
Застосувати цю концепцію легко і представляти ризик і рентабельність однієї акції, облігації чи фонду. Але чи можна це поширити на портфель з декількох активів?
Фізичні особи починають торгівлю, купуючи одну акцію чи облігацію або інвестуючи у взаємний фонд. Поступово вони схильні збільшувати свої запаси та купувати кілька акцій, фондів чи інших активів, створюючи тим самим портфель. У цьому додатковому сценарії люди складають свої портфелі без стратегії та особливих задумів. Професійні менеджери фондів, трейдери та маркет-мейкери дотримуються систематичного методу побудови свого портфеля, використовуючи математичний підхід, який називається сучасною теорією портфеля (MPT), що базується на концепції “нормального розподілу”.
Сучасна теорія портфоліо
Сучасна теорія портфеля (MPT) пропонує систематичний математичний підхід, який спрямований на максимізацію очікуваної прибутковості портфеля для певної суми портфельного ризику шляхом вибору пропорцій різних активів. Крім того, він також пропонує мінімізувати ризик для певного рівня очікуваного прибутку.
Для досягнення цієї мети активи, які повинні бути включені в портфель, не слід вибирати виключно на основі їх власних індивідуальних достоїнств, а натомість того, як буде діяти кожен актив відносно інших активів у портфелі.
У двох словах, MPT визначає, як найкраще досягти диверсифікації портфеля для досягнення найкращих можливих результатів: максимальна прибутковість при прийнятному рівні ризику або мінімальний ризик при бажаному рівні прибутковості.
Будівельні блоки
MPT був настільки революційною концепцією, коли його було представлено, що його винахідники виграли Нобелівську премію. Ця теорія успішно надала математичну формулу для диверсифікації інвестицій.
Диверсифікація – це техніка управління ризиками, яка усуває ризик “усі яйця в одному кошику”, інвестуючи в некорельовані запаси, сектори чи класи активів. В ідеалі позитивна ефективність одного активу в портфелі скасовує негативну ефективність інших активів.
Щоб взяти середню прибутковість портфеля, що містить n різних активів, розраховується пропорційно зважена комбінація прибутковості складових активів.
Через природу статистичних розрахунків та нормального розподілу загальний прибуток портфеля (R p ) розраховується як:
Сума (∑), де w i – пропорційна вага активу i у портфелі, R i – прибутковість (середнє значення) активу i.
Портфельний ризик (або стандартне відхилення) є функцією кореляції включених активів для всіх пар активів (відносно один одного в парі).
Через характер статистичних розрахунків та нормального розподілу загальний ризик портфеля (Std-dev) p розраховується як:
(Sтd-dev)стор=sqрт
U(Std-dev)сторU=sqrt[i∑Uj∑UwiUwjU(std-dev)iU(std-dev)jU(cor-cofijU)]]U
Тут cor-cof – коефіцієнт кореляції між віддачею активів i та j, а sqrt – квадратний корінь.
Це дбає про відносну ефективність кожного активу по відношенню до іншого.
Хоча це виглядає математично складним, проста концепція, що застосовується тут, включає не лише стандартні відхилення окремих активів, але й пов’язані з ними відносно один одного.
Хороший приклад можна знайти тут з Вашингтонського університету.
Швидкий приклад MPT
Як експеримент з думками, давайте уявимо, що ми – менеджер портфеля, якому було надано капітал і доручено, скільки капіталу слід розподілити на два наявні активи (A & B), щоб очікувана прибутковість була максимальною і ризик знизився.
Ми також маємо наступні значення:
R a = 0,175
R b = 0,055
(Std-dev) a = 0,258
(Std-dev) b = 0,115
(Std-dev) ab = -0,004875
(Cor-cof) ab = -0,164
Починаючи з рівного розподілу 50-50 для кожного активу A & B, R p обчислюється до 0,115, а (Std-dev) p дорівнює 0,1323. Просте порівняння говорить нам, що для цього 2 портфеля активів дохідність, а також ризик є посередині між окремими значеннями кожного активу.
Однак наша мета полягає в тому, щоб покращити прибутковість портфеля за межі простого середнього значення окремого активу та зменшити ризик, таким чином, щоб він був нижчим, ніж для окремих активів.
Давайте тепер візьмемо позицію розподілу капіталу 1,5 в активі А, а позицію розподілу капіталу -0,5 в активі В. (Негативний розподіл капіталу означає скорочення того, що отриманий запас та капітал використовується для придбання надлишку іншого активу з позитивним розподілом капіталу. іншими словами, ми вкорочуємо запас В на 0,5 рази капіталу і використовуємо ці гроші, щоб придбати запас А на суму в 1,5 рази капіталу.)
Використовуючи ці значення, ми отримуємо R p як 0,1604 та (Std-dev) p як 0,4005.
Подібним чином ми можемо продовжувати використовувати різні ваги розподілу для активів A & B та отримувати різні набори Rp та (Std-dev) p. Відповідно до бажаної віддачі (Rp) можна вибрати найбільш прийнятний рівень ризику (std-dev) p. З іншого боку, для бажаного рівня ризику можна вибрати найкращу доступну дохідність портфеля. У будь-якому випадку, завдяки цій математичній моделі теорії портфеля можна досягти мети створення ефективного портфеля із бажаною комбінацією ризику та прибутковості.
Застосування автоматизованих інструментів дозволяє легко та плавно виявляти найкращі можливі розподілені пропорції без необхідності тривалих ручних розрахунків.
Ефективна межа, то Capital Asset Pricing Model (CAPM) і ціни активів, використовуючи MPT також розвивається з однієї і тієї ж нормальної моделі розподілу та розширення MPT.
Виклики MPT (і основний нормальний розподіл)
На жаль, жодна математична модель не є досконалою, і кожна має недостатності та обмеження.
Основне припущення, що повернення ціни акцій слідує за нормальним розподілом, ставиться під сумнів раз у раз. Існує достатньо емпіричних доказів випадків, коли значення не відповідають передбачуваному нормальному розподілу. Базування на таких припущеннях складних моделей може призвести до результатів із великими відхиленнями.
Переходячи далі до MPT, розрахунки та припущення щодо коефіцієнта кореляції та коваріації, що залишаються фіксованими (на основі історичних даних), можуть не обов’язково мати місце для майбутніх очікуваних значень. Наприклад, ринки облігацій та фондового ринку демонстрували ідеальну кореляцію на ринку Великобританії з 2001 по 2004 рр., Коли прибутки від обох активів знижувались одночасно. Насправді зворотне спостерігалося протягом довгих історичних періодів до 2001 року.
Поведінка інвестора не враховується в цій математичній моделі. Податками та трансакційними витратами нехтують, навіть незважаючи на те, що передбачається дробовий розподіл капіталу та можливість скорочення активів.
Насправді жодне з цих припущень не може виконуватися, що означає, що реалізована фінансова віддача може суттєво відрізнятися від очікуваного прибутку.
Суть
Математичні моделі забезпечують хороший механізм кількісного визначення деяких змінних за допомогою одиничних відстежуваних чисел. Але через обмеження припущень моделі можуть вийти з ладу.
Нормальний розподіл, який лежить в основі теорії портфеля, може не обов’язково стосуватися акцій та інших моделей цін фінансових активів. Теорія портфеля сама по собі має безліч припущень, які слід критично вивчити, перш ніж приймати важливі фінансові рішення.