Тривалість Маколи проти модифікованої тривалості

Тривалість Маколи та модифікована тривалість в основному використовуються для розрахунку тривалості облігацій. Тривалість Маколе обчислює середньозважений час до того, як власник облігацій отримає грошові потоки облігації. І навпаки, модифікована тривалість вимірює цінову чутливість облігації, коли змінюється дохідність до погашення.

Тривалість Маколея

Тривалість Маколе обчислюється множенням періоду часу на періодичну виплату купонів і ділення отриманої величини на 1 плюс періодична дохідність, піднята до часу до погашення. Далі значення обчислюється для кожного періоду і додається разом. Потім отримане значення додається до загальної кількості періодів, помноженої на  номінальну вартість, поділену на 1, плюс періодичний вихід, піднятий до загальної кількості періодів. Тоді вартість ділиться на поточну ціну облігацій.

Ціна облігації обчислюється множенням грошового потоку на 1, мінус 1, розділене на 1, плюс дохідність до погашення, збільшена до кількості періодів, поділених на необхідну дохідність. Отримана вартість додається до номінальної вартості або вартості погашення облігації, поділеної на 1, плюс прибуток до погашення, піднятий до загальної кількості періодів.

Наприклад, припустимо тривалість п’ятирічної облігації Маколея зі строком погашення 5000 доларів та ставкою купону 6% – 4,87 року ((1 * 60) / (1 + 0,06) + (2 * 60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3 * 60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4 * 60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5 * 60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 * 5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60 * ((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).

Модифікована тривалість цієї облігації з дохідністю до погашення 6% за один купонний період становить 4,59 року (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Тому, якщо дохідність до погашення зросте з 6% до 7%, тривалість облігації зменшиться на 0,28 року (4,87 – 4,59).

Формула для розрахунку процентної зміни ціни облігації – це зміна прибутковості, помножена на від’ємне значення модифікованої тривалості, помножене на 100%. Отримана в результаті процентна зміна облігації для збільшення доходності на 1% розраховується на -4,59% (0,01 * – 4,59 * 100%).

Модифікована тривалість

Модифіед Дуратіон=Macauley Duration(1+YТМп)жчере:YТМ=yield to maturityп=путбер проF р аö¯uр аöн р аеRяòDсек рег уеаг\ begin {align} & \ text {Модифікована тривалість} = \ frac {\ text {Тривалість Макалі}} {\ ліва (1 + \ frac {YTM} {n} \ права)} \\ & \ textbf {де:} \\ & YTM = \ text {дохід до погашення} \\ & n = \ text {кількість купонних періодів на рік} \ end {align}UМодифікована тривалість=( 1+п

Модифікована дюрація  є налаштованої версією дюрації Маколея, начастку якого припадає на зміну прибутковості до термінів.Формула модифікованої тривалості – це значення тривалості Маколе, поділене на 1, плюс дохід до погашення, поділений на кількість купонних періодів на рік.Модифікована тривалість визначає зміни тривалості та ціни облігації для кожної  процентної зміни  дохідності до погашення.1

Наприклад, припустимо, що шестирічна облігація має номінальну вартість 1000 доларів та річну ставку купонів 8%. Тривалість Маколи розрахована на 4,99 років ((1 * 80) / (1 + 0,08) + (2 * 80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3 * 80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4 * 80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5 * 80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6 * 80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6 * 1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80 * (1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).

Модифікована тривалість цієї облігації з дохідністю до погашення 8% за один купонний період становить 4,62 року (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Тому, якщо дохідність до погашення зросте з 8% до 9%, тривалість облігації зменшиться на 0,37 року (4,99 – 4,62).

Формула для розрахунку процентної зміни ціни облігації – це зміна прибутковості, помножена на від’ємне значення модифікованої тривалості, помножене на 100%. Отримана в результаті процентна зміна облігації, для збільшення процентної ставки з 8% до 9%, вважається рівною -4,62% ​​(0,01 * – 4,62 * 100%).

Отже, якщо процентні ставки за ніч зростуть на 1%, очікується, що ціна облігації впаде на 4,62%.

Модифіковані обміни тривалості та процентної ставки

Модифіковану тривалість можна продовжити, щоб розрахувати кількість років, коли знадобиться своп за процентною ставкою для погашення ціни, сплаченої за своп. Своп процентних ставок – це обмін одного набору  грошових потоків  на інший і базується на специфікаціях процентних ставок між сторонами.

Модифікована тривалість обчислюється шляхом ділення доларової вартості зміни на один базисний пункт процентної ставки свопу або серії грошових потоків на поточну вартість серії грошових потоків. Потім значення множиться на 10000. Модифіковану тривалість для кожної серії грошових потоків можна також розрахувати шляхом ділення доларової вартості зміни базисного пункту ряду грошових потоків на умовну вартість плюс ринкову вартість. Потім фракцію множать на 10000.

Модифікована тривалість обох етапів повинна бути розрахована для обчислення модифікованої тривалості  процентного свопу. Різниця між двома модифікованими тривалістю полягає у модифікованій тривалості своп процентних ставок. Формула модифікованої тривалості процентного свопу – це модифікована тривалість приймаючої ноги мінус модифікована тривалість платіжної ноги.

Наприклад, припустимо, що банк А і банк Б укладають своп процентних ставок. Модифікована тривалість приймаючої ноги свопу обчислюється як дев’ять років, а модифікована тривалість платіжної ноги обчислюється як п’ять років. В результаті модифікована тривалість своп-ставки процентної ставки становить чотири роки (9 років – 5 років).

Порівняння тривалості Маколея та модифікованої тривалості

Оскільки тривалість Маколе вимірює середньозважений час, коли інвестор повинен утримувати облігацію, поки теперішня вартість грошових потоків облігації не дорівнює сумі, сплаченій за облігацію, вона часто використовується менеджерами облігацій, які хочуть управляти ризиком портфеля облігацій за допомогою стратегій імунізації.

На відміну від цього, модифікована тривалість визначає, наскільки тривалість змінюється для кожного процентного зміни прибутковості, вимірюючи, наскільки зміна процентних ставок впливає на ціну облігації. Таким чином, змінена тривалість може забезпечити міру ризику для інвесторів в облігації шляхом наближення того, наскільки ціна облігації може знизитися із збільшенням процентних ставок. Важливо зазначити, що ціни облігацій та процентні ставки мають  зворотний взаємозв’язок  між собою.