Біноміальне дерево

Що таке біноміальне дерево?

Біноміальне дерево – це графічне представлення можливих внутрішніх значень, які варіант може приймати на різних вузлах або періодах часу. Вартість опціону залежить від базового запасу або облігації, а вартість опціону на будь-якому вузлі залежить від ймовірності того, що ціна базового активу або зменшиться, або зросте на будь-якому даному вузлі.

Як працює біноміальне дерево

Біноміальне дерево є корисним інструментом при визначенні цін на американські та вбудовані опціони. Простота – це одночасно його перевага та недолік. Дерево легко моделювати механічно, але проблема полягає у можливих значеннях базового активу, які може прийняти за один період. 

У біноміальній моделі дерева базовий актив може коштувати лише одне з двох можливих значень, що нереально, оскільки активи можуть коштувати будь-яку кількість значень у будь-якому заданому діапазоні. Біноміальне дерево дозволяє інвесторам оцінити, коли і чи буде застосовано опціон. Опціон має вищу ймовірність реалізації, якщо опціон має позитивне значення. 

Особливі міркування

Модель ціноутворення біноміальних варіанти (РПБ) являє собою метод оцінки опціонів. Першим кроком BOPM є побудова біноміального дерева. BOPM базується на базовому активі протягом певного періоду проти одного моменту часу. 

 Існує кілька основних припущень у біноміальній моделі ціноутворення. По-перше, можливі лише дві ціни, одна вгору і одна вниз. По-друге, базовий актив не виплачує дивідендів. По-третє, процентна ставка є постійною, а по-четверте, відсутні податки та трансакційні витрати.

Біноміальне дерево проти моделі Блека-Скоулза

Модель Чорного Скоулза – ще один метод оцінки опціонів. Обчислення ціни за допомогою біноміального дерева відбувається повільніше, ніж модель Чорного Скоулза. Однак біноміальне дерево та BOPM є більш точними. Особливо це стосується опціонів, які мають більш давні терміни, та цінних паперів з виплатою дивідендів. 

Модель Чорного Скоулза є більш надійною, коли йдеться про складні варіанти та такі, що мають багато невизначеності. Що стосується європейських опціонів без дивідендів, то результати біноміальної моделі та моделі Чорного Скоулса зближуються із збільшенням часових кроків. 

Приклад біноміального дерева

Припустимо, ціна акції становить 100 доларів, ціна страйку опціону – 100 доларів, термін дії одного року та процентна ставка (r) 5%. 

В кінці року існує 50% вірогідність того, що запас зросте до 125 доларів, і 50% вірогідність знизиться до 90 доларів. Якщо акції зростуть до 125 доларів, вартість опціону становитиме 25 доларів (125 доларових цін мінус 100 страйкових), а якщо знизиться до 90 доларів, опціон буде ні до чого. 

Значення опціону буде:

Значення опції = [(ймовірність зростання * значення вгору) + (ймовірність спаду * значення вниз)] / (1 + r) = [(0,50 * 25 $) + (0,50 * $ 0)] / (1 + 0,05) = 11,90 $.