Фінансова енциклопедія

Теорія ціноутворення арбітражу: Це не просто вигадана математика

Теорія арбітражного ціноутворення (APT)  є альтернативою моделі ціноутворення на капітал (CAPM) для пояснення прибутковості активів або портфелів. Він був розроблений економістом  Стівеном Россом у 1970-х. З роками теорія арбітражного ціноутворення зросла популярністю завдяки відносно простим припущенням. Однак теорію арбітражного ціноутворення набагато складніше застосувати на практиці, оскільки вона вимагає великої кількості даних та складного статистичного аналізу.

Давайте подивимось, що таке теорія арбітражного ціноутворення і як ми можемо застосувати її на практиці.

Що таке APT?

APT – це багатофакторна технічна модель, заснована на співвідношенні між очікуваною прибутковістю фінансового активу та його ризиком. Модель призначена для відображення чутливості віддачі активу до змін певних макроекономічних змінних. Інвестори та фінансові аналітики можуть використовувати ці результати, щоб допомогти оцінити цінні папери.

Теорії арбітражного ціноутворення властиво переконання, що недоцінні цінні папери можуть представляти короткострокові, безризикові можливості отримання прибутку. APT відрізняється від більш звичної  CAPM, яка використовує лише один фактор. Однак, як і CAPM, APT припускає, що факторна модель може ефективно описати взаємозв’язок між ризиком і прибутковістю.

Три основні припущення APT

На відміну від моделі ціноутворення на капітал, теорія арбітражного ціноутворення не передбачає, що інвестори мають ефективні портфелі.

Однак теорія дотримується трьох основних припущень:

  • Повернення активів пояснюється систематичними факторами.
  • Інвестори можуть скласти портфель активів, де специфічний ризик усувається диверсифікацією.
  • Серед добре диверсифікованих портфелів не існує жодної можливості для арбітражу. Якщо існують якісь можливості для арбітражу, вони будуть використані інвесторами. (Так теорія отримала свою назву.)

Припущення моделі ціноутворення на капітал

Ми можемо бачити, що це більш спокійні припущення, ніж ті, що стосуються моделі ціноутворення на капітал. Ця модель передбачає, що всі інвестори мають однорідні очікування щодо середньої віддачі та дисперсії активів. Він також передбачає, що однакові ефективні кордони доступні для всіх інвесторів.

Для добре диверсифікованого портфеля основну формулу, що описує теорію арбітражного ціноутворення, можна записати наступним чином:

R f  – це прибуток, якщо актив не зазнав впливу будь-яких факторів, тобто все

βп=0\ beta_n = 0βпU=0

На відміну від моделі ціноутворення на капітал, теорія арбітражного ціноутворення не визначає факторів. Однак, згідно з дослідженнями Стівена Росса та Річарда Ролла, найважливішими факторами є наступні:

На думку дослідників Росса і Ролла, якщо не відбудеться несподіванки у зміні вищезазначених факторів, фактична віддача буде дорівнює очікуваній. Однак у разі непередбачуваних змін факторів фактичний прибуток визначатиметься наступним чином

Зверніть увагу, що f ‘ n – це непередбачувана зміна фактора або фактора несподіванки, e – залишкова частина фактичної віддачі.

(Докладніше про модель ціноутворення на капітальні активи читайте в  Переваги та недоліки моделі CAPM.)

Оцінка чутливості до факторів та надбавок до факторів

Як насправді ми можемо отримати чутливість до факторів? Нагадаємо, що в моделі ціноутворення на капітальні активи ми отримали бета-версію активів, яка вимірює чутливість активів до ринкової рентабельності, просто регресуючи фактичну рентабельність активів порівняно з ринковою. Визначення бета-факторів – це майже однакова процедура.

З метою ілюстрації методики оцінки  ß n (чутливість до фактора n)  та f n (ціна n-го фактора) ,  візьмемо індекс загальної прибутковості S&P 500  та композитний індекс загальної прибутковості NASDAQ як проксі для добре диверсифікованих портфелів для яких ми хочемо знайти ß n  та  f n. Для простоти ми припустимо, що ми знаємо, що R f (безризикова віддача)  становить 2 відсотки. Ми також припустимо, що річна очікувана прибутковість портфелів становить 7 відсотків для індексу загальної прибутковості S&P 500 та 9 відсотків для складеного загального індексу прибутковості NASDAQ.

Крок 1: Визначте систематичні фактори

Ми повинні визначити систематичні фактори, якими пояснюється дохідність портфеля. Припустимо, що темпи зростання реального валового внутрішнього продукту (ВВП) та 10-річна зміна дохідності казначейських облігацій є чинниками, які нам потрібні. Оскільки ми вибрали два індекси з великими складовими, ми можемо бути впевнені, що наші портфелі добре диверсифіковані з майже нульовим питомим ризиком.

Крок 2: Отримайте бета-версію

Ми провели  регресію за історичними квартальними даними кожного індексу щодо квартальних темпів реального зростання ВВП та квартальних змін прибутковості облігацій. Зверніть увагу, оскільки ці розрахунки служать лише для ілюстративних цілей, ми пропустимо технічні сторони регресійного аналізу.

Ось результати:

Результати регресії говорять нам про те, що обидва портфелі мають набагато вищу чутливість до темпів зростання ВВП (що логічно, оскільки зростання ВВП зазвичай відображається на зміні ринку акціонерного капіталу) і дуже крихітну чутливість до зміни прибутковості Т-облігацій (це теж логічно, оскільки запаси менше чутливі до змін доходності, ніж облігації). 

Крок 3: Отримайте ціни на фактори або премії за фактори

Тепер, коли ми отримали бета-фактори, ми можемо оцінити ціни на фактори, вирішивши наступний набір рівнянь:

7%=2%+3.45∗f1+0.033∗f27 \% = 2 \% + 3,45 * f_1 + 0,033 * f_27%=2%+3.45∗f1U+0.033∗f2U

f1=1.43%f_1 = 1,43 \%f1U=1.43% і

f2=2.47%f_2 = 2,47 \%f2U=2.47%

Отже, загальне рівняння теорії ціноутворення попереднього  арбітражу для будь-якого портфеля i  буде таким:

Е(Р.i)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2E (R_i) = 2 \% + 1,43 \% * \ beta_1 + 2,47 \% * \ beta_2E(RiU)=2%+1.43%∗β1U+2.47%∗β2U

Користуючись можливостями арбітражу

Ідея, за якою стоїть умова відсутності арбітражу, полягає в тому, що, якщо на ринку існує недоцінна цінна ціна цінних паперів, інвестори завжди можуть створити портфель із чутливістю факторів, подібною до чутливості цінних паперів, і використати можливість арбітражу. 

Наприклад, припустимо, що окрім наших індексних портфелів існує портфоліо ABC з відповідними даними, наведеними в наступній таблиці:

Ми можемо побудувати портфель із перших двох портфелів індексів (із вагою індексу загальної віддачі S&P 500 70 відсотків та вагою загального індексу загальної віддачі NASDAQ 30 відсотків) з аналогічною чутливістю факторів, як портфель ABC, як показано в останньому вихідному звіті таблиця. Назвемо це комбінованим індексним портфоліо. Комбінований індексний портфель має ті самі бета-версії систематичних факторів, що й портфель ABC, але нижчий очікуваний прибуток. 

Це означає, що портфель ABC недооцінений. Потім ми скоротимо комбінований індексний портфель і разом з цими надходженнями придбаємо акції портфеля ABC, який також називається арбітражним портфелем (оскільки він використовує можливість арбітражу). Оскільки всі інвестори продавали б завищений і купували недооцінений портфель, це відігнало б будь-який арбітражний прибуток.  Ось чому теорію називають теорією арбітражного ціноутворення.

Суть 

Теорія арбітражного ціноутворення, як альтернативна модель ціноутворення на капітальні активи, намагається пояснити прибутковість активів або портфелів систематичними факторами та чутливістю активів / портфелів до таких факторів. Теорія оцінює очікувану прибутковість добре диверсифікованих портфелів з основним припущенням, що портфелі добре диверсифіковані, і будь-які розбіжності з рівноважною ціною на ринку будуть миттєво відігнані інвесторами. Будь-яка різниця між фактичною віддачею та очікуваною віддачею пояснюється факторними сюрпризами (різниця між очікуваною та фактичною величиною факторів). 

Недоліком теорії арбітражного ціноутворення є те, що вона не визначає систематичних факторів, але аналітики можуть знайти їх, регресуючи історичну дохідність портфеля за такими факторами, як реальні темпи зростання ВВП, зміни інфляції, зміни строкової структури, зміни премій за ризик тощо. Рівняння регресії дозволяють оцінити, які систематичні фактори пояснюють прибутковість портфеля, а які ні.