Використання та межі нестабільності
Інвестори люблять орієнтуватися на обіцянку високої прибутковості, але вони також повинні запитати, скільки ризику вони повинні взяти на себе в обмін на цю прибутковість. Хоча ми часто говоримо про ризик у загальному розумінні, існують також офіційні вирази відносин ризик-винагорода.
Наприклад, коефіцієнт Шарпа вимірює надлишкову прибутковість на одиницю ризику, де ризик обчислюється як волатильність, що є традиційною та популярною мірою ризику. Його статистичні властивості добре відомі, і він включає декілька систем, таких як сучасна теорія портфеля та модель Блека-Скоулза. У цій статті ми розглядаємо волатильність, щоб зрозуміти її використання та межі.
Річне стандартне відхилення
На відміну від прихованої волатильності яка належить до теорії ціноутворення опціонів і є перспективною оцінкою, заснованою на консенсусі на ринку – регулярна волатильність виглядає назад. В Зокрема, це в річному стандартному відхиленні від історичної прибутковості.
Традиційні рамки ризику, які покладаються на стандартне відхилення, як правило, припускають, що повернення відповідає нормальному розподілу у формі дзвона. Звичайний розподіл дає нам зручні вказівки: приблизно дві третини часу (68,3%), повернення повинно потрапляти в межах одного стандартного відхилення (+/-); і в 95% випадків повернення повинно падати в межах двох стандартних відхилень. Дві якості нормального графіка розподілу це худі “хвости” та ідеальна симетрія. Худі хвости передбачають дуже низький рівень (приблизно 0,3% випадків) віддачі, що перевищує три стандартних відхилення від середнього показника. Симетрія передбачає, що частота і величина виграшів вгору є дзеркальним відображенням втрат в сторону зменшення.
Отже, традиційні моделі трактують всю невизначеність як ризик, незалежно від напрямку. Як показали багато людей, це проблема, якщо прибутковість не симетрична – інвестори турбуються про свої втрати “ліворуч” від середнього, але не турбуються про прибутки праворуч від середнього.
Ми ілюструємо цю химерність нижче двома вигаданими запасами. Падаючий запас (синя лінія) абсолютно без дисперсії і, отже, створює нульову волатильність, але зростаючий запас – оскільки він демонструє кілька шоків вгору, але не жодної краплі – створює волатильність (стандартне відхилення) 10%.
Теоретичні властивості
Наприклад, коли ми обчислюємо волатильність індексу S&P 500 станом на 31 січня 2004 р., Ми отримуємо десь від 14,7% до 21,1%. Чому такий асортимент? Тому що ми повинні вибрати як інтервал, так і історичний період. Що стосується інтервалу, ми могли б збирати серію щомісячних, тижневих або щоденних (навіть внутрішньоденних) повернень. І наша серія повернень може тривати протягом історичного періоду будь-якої тривалості, наприклад, трьох років, п’яти років або 10 років. Нижче ми розрахували стандартне відхилення прибутковості для S&P 500 протягом 10-річного періоду, використовуючи три різні інтервали:
Зверніть увагу, що мінливість зростає із збільшенням інтервалу, але майже не пропорційно: тижневик не майже вп’ятеро перевищує денну суму, а місячний – майже не чотири рази на тиждень. Ми дійшли до ключового аспекту теорії випадкових прогулянок : шкали стандартного відхилення (збільшуються) пропорційно квадратному кореню часу. Отже, якщо добове стандартне відхилення становить 1,1% і якщо в році є 250 торгових днів у році, річне стандартне відхилення – це добове стандартне відхилення 1,1%, помножене на квадратний корінь з 250 (1,1% х 15,8 = 18,1%). Знаючи це, ми можемо щорічно вирахувати стандартні відхилення інтервалу для S&P 500, помноживши на квадратний корінь кількості інтервалів у році:
Ще одна теоретична властивість мінливості може вас здивувати, а може і не здивувати: вона розмиває повернення. Це пов’язано з ключовим припущенням про ідею випадкової прогулянки: прибутковість виражається у відсотках. Уявіть, що ви починаєте зі 100 доларів, а потім отримуєте 10%, щоб отримати 110 доларів. Тоді ви втрачаєте 10%, що приносить вам $ 99 ($ 110 x 90% = $ 99). Потім ви знову отримуєте 10%, до чистих 108,90 доларів (99 х 110% = 108,9 доларів). Нарешті, ви втрачаєте 10% до $ 98,01. Це може бути протиінтуїтивно, але ваш головний поступово стирається, навіть якщо ваш середній приріст становить 0%!
Наприклад, якщо ви очікуєте середньорічного приросту 10% на рік (тобто середнього арифметичного), виявляється, що ваш довгостроковий очікуваний приріст становить дещо менше 10% на рік. Фактично він буде зменшений приблизно на половину дисперсії (де дисперсія – це квадратичне стандартне відхилення). У чисто гіпотетичній нижченаведеній ситуації ми починаємо зі 100 доларів, а потім уявляємо, що п’ять років волатильності закінчуються 157 доларами:
Чи добре повертається повернення? Теоретична основа, без сумніву, елегантна, але вона залежить від вихованості. А саме нормальний розподіл і випадкова прогулянка (тобто незалежність від одного періоду до наступного). Як це порівняно з реальністю? Ми збирали щоденні прибутки за останні 10 років для S&P 500 та Nasdaq нижче (близько 2500 щоденних спостережень):
Як і слід було очікувати, волатильність Nasdaq (річне стандартне відхилення 28,8%) перевищує волатильність S&P 500 (річне стандартне відхилення 18,1%). Ми можемо спостерігати дві різниці між нормальним розподілом та фактичною віддачею. По-перше, фактичні прибутки мають вищі піки – це означає більшу перевагу прибутковості поблизу середнього показника. По-друге, фактична віддача має більш жирні хвости. (Наші висновки дещо узгоджуються з більш масштабними академічними дослідженнями, які також мають тенденцію знаходити високі вершини та жирові хвости; технічним терміном для цього є куртоз ). Скажімо, ми вважаємо мінус три стандартних відхилення великою втратою: S&P 500 зазнав щоденних втрат мінус три стандартних відхилення приблизно -3,4% часу. Нормальна крива передбачає, що така втрата відбудеться приблизно тричі за 10 років, але насправді це сталося 14 разів!
Це розподіли окремих інтервальних повернень, але що говорить теорія про віддачу з часом? Як тест, давайте подивимось на фактичні щоденні розподіли S&P 500 вище. У цьому випадку середньорічна прибутковість (за останні 10 років) становила близько 10,6%, і, як обговорювалось, річна волатильність становила 18,1%. Тут ми проводимо гіпотетичне випробування, починаючи зі 100 доларів і утримуючи його протягом 10 років, але ми щорічно піддаємо інвестиції випадковому результату, який становив в середньому 10,6% при стандартному відхиленні 18,1%. Це випробування було проведено 500 разів, що зробило так звану симуляцію Монте-Карло. Остаточні цінові результати 500 випробувань наведені нижче:
Нормальний розподіл відображається як фон лише для того, щоб висвітлити дуже ненормальні цінові результати. Технічно кінцеві цінові результати є ненормальними (тобто, якщо вісь x перетворити на натуральний log x, розподіл буде виглядати більш нормальним). Справа в тому, що кілька цінових результатів переходять праворуч: із 500 випробувань шість результатів дали результат на кінець періоду в 700 доларів! Ці кілька дорогоцінних результатів зуміли заробити в середньому понад 20% щороку за 10 років. З лівого боку, оскільки зменшення залишку зменшує кумулятивний ефект відсоткових втрат, ми отримали лише кілька кінцевих результатів, які були менше 50 доларів. Підсумовуючи складну ідею, ми можемо сказати, що повернення інтервалу – виражене у відсотках – зазвичай розподіляється, але кінцеві результати ціни розподіляються як нормально.
Нарешті, ще один висновок наших випробувань узгоджується з “ерозійними ефектами” нестабільності: якщо ваші інвестиції заробляють рівно в середньому щороку, ви мали б на кінець близько 273 доларів (10,6%, складені протягом 10 років). Але в цьому експерименті наш загальний очікуваний приріст був ближчий до 250 доларів. Іншими словами, середній (арифметичний) річний приріст становив 10,6%, але сукупний (геометричний) приріст був меншим.
Дуже важливо мати на увазі, що наше моделювання передбачає випадкову прогулянку: воно передбачає, що повернення від одного періоду до наступного є абсолютно незалежним. Ми жодним чином цього не довели, і це не є тривіальним припущенням. Якщо ви вважаєте, що прибутки слідують тенденціям, ви технічно говорите, що вони демонструють позитивну серійну кореляцію. Якщо ви думаєте, що вони повертаються до середнього, то технічно ви говорите, що вони демонструють негативну серійну кореляцію. Жодна з позицій не відповідає незалежності.
Нижня волатильність – це річне стандартне відхилення прибутковості. У традиційних теоретичних рамках він не тільки вимірює ризик, але впливає на очікування довгострокової (багатоперіодної) віддачі. Як такий, він просить нас прийняти сумнівні припущення, що повернення інтервалів зазвичай розподіляється і є незалежним. Якщо ці припущення відповідають дійсності, висока волатильність – це двосічний меч: він розмиває очікувану довгострокову віддачу (зменшує середнє арифметичне до середнього геометричного), але також надає вам більше шансів отримати кілька великих прибутків.