Використання методів розподілу ймовірних запасів
Розподіл ймовірностей малювання
Майже незалежно від вашого погляду на передбачуваність чи ефективність ринків, ви, мабуть, погодитесь, що для більшості активів гарантована дохідність є невизначеною або ризикованою. Якщо ми проігноруємо математику, яка лежить в основі розподілу ймовірностей, ми можемо побачити, що це картинки, що описують певний погляд на невизначеність. Розподіл ймовірностей – це статистичний розрахунок, що описує ймовірність того, що дана змінна потрапить між або в межах певного діапазону на графіку побудови графіків.
Невизначеність відноситься до випадковості. Це відрізняється від відсутності передбачуваності або неефективності ринку. Новий погляд на дослідження свідчить, що фінансові ринки є одночасно невизначеними та передбачуваними. Крім того, ринки можуть бути ефективними, але також невизначеними.
У фінансах ми використовуємо розподіл ймовірностей, щоб намалювати картини, що ілюструють наш погляд на чутливість повернення активів, коли ми думаємо, що віддачу активів можна вважати випадковою величиною. У цій статті ми розглянемо кілька найпопулярніших розподілів ймовірностей та покажемо, як їх обчислити.
Розподіли можна класифікувати як дискретні, так і безперервні, а також за тим, чи є це функцією щільності ймовірності (PDF) або сукупним розподілом.
Дискретний та безперервний розподіл
Дискретна відноситься до випадкової величини, виведеної з кінцевого набору можливих результатів. Наприклад, шестигранна плашка має шість дискретних результатів. Безперервний розподіл відноситься до випадкової величини, отриманої з нескінченної множини. Приклади безперервних випадкових величин включають швидкість, відстань та деякі повернення активів. Дискретна випадкова величина ілюструється, як правило, крапками або тире, а неперервна змінна – суцільною лінією. На малюнку нижче показано дискретні та безперервні розподіли для нормального розподілу із середнім (очікуваним значенням) 50 та стандартним відхиленням 10:
Розподіл – це спроба скласти графік невизначеності. У цьому випадку результат 50 є найбільш вірогідним, але це трапиться приблизно через 4% випадків; результат 40 – це одне стандартне відхилення нижче середнього, і воно відбуватиметься трохи менше 2,5% часу.
Щільність ймовірності проти кумулятивного розподілу
Інша відмінність полягає між функцією щільності ймовірності (PDF) та функцією кумулятивного розподілу. PDF – це ймовірність того, що наша випадкова величина досягне певного значення (або у випадку безперервної змінної – падіння між інтервалом). Ми показуємо, що вказуючи ймовірність того, що випадкова величина X дорівнюватиме фактичному значенню x:
Кумулятивний розподіл – це ймовірність того, що випадкова величина X буде меншою або дорівнює фактичному значенню x:
P
UP[x<=X]U
або, наприклад, якщо ваш зріст є випадковою величиною з очікуваним значенням 5’10 “дюймів (середній зріст ваших батьків), тоді питання в форматі PDF таке:” Яка ймовірність того, що ви досягнете висоти 5’4 “? ” Відповідне запитання про функцію кумулятивного розподілу: “Яка ймовірність буде вам менше 5’4”? “
На малюнку вище показано два нормальних розподілу. Тепер ви можете бачити, що це графіки функції щільності ймовірності (PDF). Якщо ми повторно побудуємо такий самий розподіл, як кумулятивний розподіл, ми отримаємо наступне:
Сукупний розподіл повинен з часом досягти 1,0 або 100% по осі y. Якщо ми піднімемо планку досить високо, то в якийсь момент практично всі результати потраплять під цю планку (можна сказати, розподіл, як правило, асимптотичний до 1,0).
Фінанси, соціальні науки, не такі чисті, як фізичні науки. Наприклад, сила тяжіння має елегантну формулу, на яку ми можемо розраховувати раз по раз. З іншого боку, доходи від фінансових активів не можуть повторюватися настільки послідовно. Протягом багатьох років розумні люди втрачали приголомшливу суму грошей, які переплутали точний розподіл (тобто як би походить від фізичних наук) з брудними, ненадійними наближеннями, які намагаються зобразити фінансову прибутковість. У фінансах розподіл ймовірностей – це не що інше, як грубі зображення.
Рівномірний розподіл
Найпростішим і найпопулярнішим розподілом є рівномірний розподіл, при якому всі результати мають однакові шанси відбутися. Шестигранна плашка має рівномірний розподіл. Кожен результат має ймовірність приблизно 16,67% (1/6). Наш графік нижче показує суцільну лінію (щоб ви могли це краще бачити), але майте на увазі, що це дискретний розподіл – ви не можете прокрутити 2,5 або 2,11:
Тепер киньте дві кістки разом, як показано на малюнку нижче, і розподіл перестане бути рівномірним. Пік досягає семи, що має 16,67% шансів. У цьому випадку всі інші результати менш вірогідні:
Тепер киньте три кубики разом, як показано на малюнку нижче. Ми починаємо бачити ефекти найдивовижнішої теореми: центральної граничної теореми. Теорема про центральну межу сміливо обіцяє, що сума або середнє для ряду незалежних змінних мають тенденцію до нормального розподілу незалежно від їх власного розподілу. Наші кубики є індивідуально однорідними, але поєднують їх, і – коли ми додаємо більше кісток – майже магічно їх сума буде прагнути до звичного нормального розподілу.
Біноміальний розподіл
Біноміальний розподіл відображає ряд «або / або» випробувань, таких як серії кидків монети. Вони називаються випробуваннями Бернуллі – вони стосуються подій, які мають лише два результати – але вам не потрібні навіть рівні (50/50) шанси. Біноміальний розподіл нижче зображує серію з 10 підкидань монет, де ймовірність голів становить 50% (p-0,5). На малюнку нижче ви можете побачити, що ймовірність перекинути рівно п’ять голів і п’ять хвостів (порядок не має значення) – лише 25%:
Якщо біноміальний розподіл для вас здається нормальним, ви маєте на увазі це. Зі збільшенням кількості випробувань біноміал прагне до нормального розподілу.
Ненормальний розподіл
Розподіл логарифмически дуже важливо в області фінансів, тому що багато хто з найбільш популярних моделей припускають, що ціни на акції розподілені логнормального. Легко сплутати віддачу активів з рівнем цін.
Повернення активів часто трактується як звичайне – запас може зрости на 10% або знизитися на 10%. Рівні цін часто трактуються як ненормальні – запас в 10 доларів може становити 30 доларів, але не може падати – 10 доларів. Ненормальний розподіл ненульовий і перекошений вправо (знову ж таки, запас не може опуститися нижче нуля, але у нього немає теоретичного обмеження зростання):
Пуассон
Розподіл Пуассона використовується для опису шансів на певну подію (наприклад, щоденну втрату портфеля нижче 5%), що відбувається протягом певного інтервалу часу. Отже, у наведеному нижче прикладі ми припускаємо, що деякі операційні процеси мають рівень помилок 3%. Далі ми припускаємо 100 випадкових досліджень; розподіл Пуассона описує ймовірність отримання певної кількості помилок протягом певного періоду часу, наприклад, одного дня.
Студентська Т
Розподіл Т студента також дуже популярний, оскільки він має трохи «жирніший хвіст», ніж звичайний розподіл. Т студента використовується зазвичай, коли обсяг нашої вибірки невеликий (тобто менше 30). У фінансах лівий хвіст відображає втрати. Тому, якщо обсяг вибірки невеликий, ми сміємо недооцінювати шанси на великі втрати. Більш жирний хвіст на студентському Т нам тут допоможе. Незважаючи на це, трапляється, що жировий хвіст цього розподілу часто недостатньо жирний. У рідкісних катастрофічних випадках фінансова прибутковість, як правило, демонструє справді втрати в жирових хвостах (тобто жирніше, ніж передбачали розподіли). З цього приводу втрачено великі суми грошей.
Бета-розподіл
Нарешті, бета-розподіл (не плутати з бета параметром у моделі ціноутворення на капітал ) користується популярністю серед моделей, які оцінюють норми повернення портфелів облігацій. Бета-дистрибутив – це програвач дистрибутивів. Як і звичайний, йому потрібні лише два параметри (альфа та бета), але їх можна комбінувати для надзвичайної гнучкості. Нижче наведено чотири можливі бета-розподіли:
Суть
Як і так багато взуття в нашій статистичній шафі для взуття, ми намагаємось вибрати найкращий варіант для цього випадку, але насправді не знаємо, яка погода нас тримає. Ми можемо вибрати нормальний розподіл, тоді з’ясуємо, що це занижені втрати лівого хвоста; тому ми переходимо до перекошеного розподілу, лише щоб виявити, що дані виглядають більш «нормальними» протягом наступного періоду. Елегантна математика внизу може спокусити вас думати, що ці розподіли розкривають глибшу істину, але більш імовірно, що це лише людські артефакти. Наприклад, усі розподіли, які ми розглядали, є досить плавними, але деякі повернення активів стрибають періодично.
Звичайний розподіл є всюдисущим і елегантним, і для нього потрібні лише два параметри (середнє значення та розподіл). Багато інших розподілів сходяться до нормалі (наприклад, двочлен і Пуассона). Однак багато ситуацій, такі як повернення хедж-фондів, кредитні портфелі та серйозні збитки, не заслуговують нормального розподілу.